Equazioni goniometriche, costruire modelli e risolvere problemi

Matematica: equazioni e disequazioni goniometriche

Conigli a Rotterdam

Il parco cittadino intorno alla torre panoramica di Rotterdam è popolato da un gran numero di piccoli conigli selvatici. Consideriamo la densità di questa popolazione, cioè il numero di esemplari per ettaro, e supponiamo che vari nel tempo con un andamento espresso dalla legge:

d(t) = 20 + 10 ⋅ cos(t)

Dove t è il tempo misurato in anni, a partire dall’anno scelto come inizio dell’analisi. Determina quando, per t ≤ 12, la densità dei conigli per ettaro d(t) è uguale a 15 e verifica graficamente la soluzione trovata. [t=4 anni e t=8 anni]

Svolgimento

Per risolvere il problema dobbiamo imporre che la funzione d(t) assuma il valore 15 con la condizione posta sulla variabile tempo che deve essere inferiore a 12 anni e comunque positivo:

d(t) = 20 + 10 ⋅ cos(t) → 0 ≤ t ≤ 12

20 + 10 ⋅ cos(t) = 15

0 ≤ t ≤ 12

Osserviamo anche che:

t = 0 → d(t) = 20

t = 12 → d(t) = 20

Consideriamo solo un giro di circonferenza per le soluzioni, senza il periodo. Risolviamo l’equazione nella sola funzione coseno:

20 + 10 ⋅ cos(t) = 15 → 10 ⋅ cos(t) = 15 - 20 → cos(t) = -1/2

Poniamo per semplicità: cos(t) = -1/2 che per quanto detto sopra, sarà: 0 ≤ t ≤ 2π

Quali angoli hanno coseno pari a -1/2? Disegniamo la retta di equazione t = -1/2. Le sue intersezioni con la circonferenza goniometrica sono i punti. Uniamo i punti con l’origine O e individuiamo i due angoli associati che hanno lo stesso coseno: 60°

Il primo angolo è associato di 60°.

Infatti: cos(θ) = cos(60°)

Ovvero: cos(θ) = 1/2

Il secondo angolo che ha lo stesso coseno (-1/2) è l’altro associato: cos(θ) = cos(180° - 60°) = cos(120°)

In radianti: cos(θ) = cos(π - π/3) = cos(2π/3)

Quindi considerando un solo giro: 2π/3

Ed ora le soluzioni in anni

t = 4 anni e t = 8 anni

Rappresentiamo graficamente la funzione

Grafico della funzione per valori di t inferiori a 12 anni

Sulcis Iglesiente

Lo scoglio Pan di Zucchero è un faraglione alto 133 m sul livello del mare, nei pressi di Porto Flavia, nella zona del Sulcis Iglesiente, in Sardegna. Immaginiamo di osservare il faraglione dalla terrazza panoramica del vecchio deposito minerario e di collegare il punto di osservazione A con la sommità B e la base C del faraglione.