Equazioni di secondo grado, studio del delta con discussione

Complementi di algebra

Equazioni di secondo grado

Esercitazione n^o12

Studio del Δ di equazioni parametriche

Scomposizione del trinomio di secondo grado

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Esercitazione n^o12

Studio del Δ di equazioni parametriche

Scomposizione del trinomio di secondo grado

Vero o falso? Motiva le risposte.

• a. L’equazione, nell’incognita x, x² + 4ax − (a² − 1)² = 0 ha due soluzioni reali e discordi per ogni valore reale di a, con a ≠ ±1. V F
• b. L’equazione, nell’incognita x, kx² + kx + 7 = 0 ha una radice doppia per un unico valore del parametro reale k. V F
• c. L’equazione −x² + 3x − 4 = 0 ha due radici reali aventi somma 3. V F
• d. Il trinomio 6t² − 6√2t + 3 è irriducibile. V F

a. L’affermazione è vera. Calcoliamo il discriminante Δ/4 = 4a² + (a² − 1)² = (a² + 1)² > 0, ∀a ∈ R. Si ha che Δ > 0, ∀a ∈ R quindi l’equazione ha sempre due soluzioni reali e distinte. Per verificare che, a ≠ ±1, si tratta sempre di soluzioni discordi consideriamo il prodotto delle radici: p = −(a² − 1)².

b. L’affermazione è vera. Poniamo il coefficiente di secondo grado diverso da zero, k ≠ 0, e calcoliamo il discriminante Δ = k² − 4 . 7 . k = k² − 28k. Le radici coincidono (radice doppia) se il discriminante è nullo, quindi Δ = 0 ⇔ k = 0 ∨ k = 28. Uno solo dei valori di k è accettabile. Quindi l’equazione ha una radice doppia solo nel caso che k sia 28.

c. L’affermazione è falsa. La somma delle soluzioni è tre, ma esse non sono reali infatti Δ = 9 − 16.

d. L’affermazione è falsa. Calcoliamo il discriminante dell’equazione 6t² − 6√2t + 3 = 0 Δ = (6√2)² − 4 . 6 . 3 = 72 − 72 = 0. Il trinomio può essere scomposto in fattori e in particolare si tratta del quadrato di un binomio.