Analisi matematica: equazioni differenziali ordinarie
Anno Accademico 2024/2025 — Lezione 53 — Ingegneria
1. Introduzione e motivazione
In moltissime questioni di natura fisica, ingegneristica ed economica si presenta il problema di determinare una grandezza incognita conoscendone la legge che ne descrive la rapidità di variazione. Alcune situazioni tipiche:
- Meccanica classica: determinare la posizione di una particella conoscendo la sua velocità, l'accelerazione o le forze a cui è sottoposta.
- Elettromagnetismo: determinare l'intensità di corrente in un circuito RLC conoscendo resistenza, capacità e induttanza.
- Termodinamica: descrivere il raffreddamento di un corpo (legge di Newton del raffreddamento).
- Biologia e medicina: modellare la crescita di popolazioni batteriche o la diffusione di farmaci nel sangue.
- Economia: descrivere la dinamica di prezzi, interessi composti o modelli di crescita.
In tutti questi casi si vuole trovare una funzione incognita y(t), nota una relazione che coinvolge la funzione stessa e le sue derivate. Questa relazione è precisamente un'equazione differenziale.
2. Definizioni fondamentali
2.1 Equazione differenziale ordinaria (EDO)
Un'equazione differenziale ordinaria (EDO) di ordine n per la funzione incognita y(t) è un'equazione in cui compaiono una variabile indipendente t, la funzione y(t) e le sue derivate fino all'ordine n. In generale ha la forma:
F(t, y, y', y'', ..., y^(n)) = 0
Il termine “ordinaria” distingue queste equazioni da quelle alle derivate parziali (PDE), in cui l'incognita dipende da più variabili. Il numero n è detto ordine dell'equazione ed è l'ordine massimo di derivazione che compare.
Definizione — Soluzione (integrale generale)
Ogni funzione y(t) derivabile n volte in un intervallo aperto I che rende l'equazione identicamente verificata (cioè soddisfatta per ogni t in I) si dice soluzione o integrale dell'equazione differenziale. L'integrale generale è l'insieme di tutte le soluzioni, ciascuna definita sul suo intervallo di definizione.
Un'equazione differenziale può avere esattamente una soluzione, infinite soluzioni o nessuna soluzione. Risolvere (integrare) un'EDO significa trovare tutte le sue soluzioni.
2.2 Forma normale
Qualora sia possibile esplicitare la derivata di ordine massimo come funzione di t, y e delle derivate di ordine inferiore, l'equazione si dice in forma normale:
y^(n) = f(t, y, y', ..., y^(n-1))
La forma normale è la struttura più comoda per lo studio teorico e per l'applicazione dei teoremi di esistenza e unicità. Molte equazioni di interesse pratico si possono scrivere in forma normale.
Esempio 53.2 — EDO del primo ordine
L'equazione y'(t) = e^t + y(t) è un'EDO del primo ordine (la funzione incognita compare derivata una volta). Si può scrivere anche nella forma compatta:
y' = e^t + y
Questa equazione è già in forma normale poiché y' è esplicitata.
Esempio 53.3 — EDO del secondo ordine
L'equazione 2z''(x) + 4z'(x) - z(x) = x + 2 è un'EDO di ordine 2 in z(x). Portandola in forma normale si esplicita z'':
z''(x) = -2z'(x) + (1/2)z(x) + x/2 + 1
2.3 Equazioni differenziali lineari
Un tipo di particolare importanza — sia teorica che applicativa — è costituito dalle equazioni differenziali lineari. Un'EDO lineare di ordine n ha la forma:
a_n(t)*y^(n) + a_{n-1}(t)*y^(n-1) + ... + a_1(t)*y' + a_0(t)*y = f(t)
dove a_0(t), ..., a_n(t) sono funzioni di t (coefficienti) e f(t) è il termine forzante (o termine noto). Le caratteristiche chiave di questa forma sono:
- La funzione incognita y e tutte le sue derivate compaiono solo alla prima potenza (nessun quadrato, nessun prodotto y*y').
- I coefficienti a_i(t) possono dipendere da t ma non da y.
- Se f(t) = 0 l'equazione si dice omogenea associata; se f(t) ≠ 0 si dice completa (o non omogenea).
Nota: Se un'EDO non può essere scritta nella forma lineare, si dice non lineare. Le EDO non lineari sono in generale molto più difficili da risolvere e non sempre ammettono soluzioni in forma chiusa.
3. Il problema di Cauchy
L'integrale generale di un'EDO di ordine n contiene n costanti arbitrarie (parametri liberi). Per selezionare una soluzione particolare è necessario imporre n condizioni aggiuntive. Il modo più naturale è fissare il valore della funzione e delle sue prime n-1 derivate in un punto t_0 assegnato.
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