Equazione cartesiane delle sfere

Piano parallelo alla retta, equazione cartesiana delle sfere

Piano parallelo alla retta, equazione cartesiana delle sfere

Trovare equazioni cartesiane delle sfere di raggio ^√3 e tangenti in A(2,0,2) al piano π: x + y − z = 0.

Il centro C delle sfere cercate appartiene alla retta r perpendicolare al piano π e passante per A.

Quindi π(1,1,-1) e r: x = t + 2, y = t, z = −t + 2, da cui C(t + 2, t, −t + 2).

Ora se il raggio è ^√3, allora dovrà essere AC² = 3, ossia t² + t² + t² = 3 ⇔ t² = 1 ⇔ t = ±1.

Abbiamo così due centri possibili C₁(3,1,1) e C₂(1,−1,3) e di conseguenza due possibili sfere.

Σ₁ : (x − 3)² + (y − 1)² + (z − 1)² = 3

Σ₂ : (x − 1)² + (y + 1)² + (z − 3)² = 3

Da cui:

Σ₁ : x² − 6x + y² − 2y + z² − 2z + 8 = 0

Σ₂ : x² − 2x + y² + 2y + z² − 6z + 8 = 0