Endomormismo R3

Endomorfismo R³: automorfismo per valori del parametro, f semplice

Endomorfismo R³: automorfismo per valori del parametro, f semplice.

Si consideri, al variare del parametro k ∈ ℝ, l'endomorfismo f_k di ℝ³ definito da f_k(x, y, z) = (3x + kz, −x + 2y + 2z, kx + 3z).

Stabilire per quali valori di k l'endomorfismo f_k è un automorfismo e per quali valori di k f_k è semplice.

Sia A_k la matrice associata all'endomorfismo f_k.

f_k è un automorfismo se e solo se rgA_k = 3 ossia se e solo se det A_k ≠ 0. Ora det A_k = 2(9 − k²) ≠ 0 ⇔ k ≠ ±3.

Polinomio caratteristico e autovalori

Calcoliamo ora il polinomio caratteristico di A_k:

det (A_k − λI) = 3 − λ 0 k −1 2 − λ 2 k 0 3 − λ = −(2 − λ)(3 − λ)(3 − λ − k).

Abbiamo così gli autovalori: λ₁ = 2, λ₂ = 3 − k e λ₃ = 3 + k, da cui λ₁ = 2 ⇔ λ₂ = 1 ⇔ k = 1; λ₃ = 1 ⇔ k = −1.

Possiamo allora affermare che per k ≠ ±1, 0 si hanno 3 autovalori distinti e quindi f_k è semplice.

Casi particolari

• Sia k = 1. In questo caso l'autovalore λ₁ = λ₂ = 2 ha molteplicità algebrica m₂(2) = 2, dobbiamo allora determinare la sua molteplicità geometrica m_g(2), ossia la dimensione dell'autospazio V(2) = { v ∈ ℝ³ (A₂ − λI) v = 0 }. V(x, y, z) ∈ V(2) ⇔ x + x = 0, −x + 2z = 0 da cui segue V(2) = L((0, 1, 0)) e quindi dim V(2) = 1. Per k = 1 si ha quindi che m_g(2) = 1 ≠ m₂(2) ed f₁ non è semplice.