Elaborazione dei segnali multimediali - Quesiti vari

Trasformata wavelet

L. Verdoliva, M. Cagnazzo

10.05.2007

In questa esercitazione realizziamo la trasformata wavelet monodimensionale, diretta e inversa, mediante un banco di filtri. Inoltre estendiamo l’analisi alle immagini, evidenziando la capacità della wavelet di localizzazione tempo-frequenza, di compattazione dell’energia e la possibilità di fornire una gerarchia di immagini a diversa risoluzione.

1 La trasformata wavelet monodimensionale

La trasformata Wavelet può essere realizzata semplicemente ed efficacemente mediante un banco di filtri.

In particolare la fase di analisi (decomposizione) prevede un filtraggio passa basso e passa alto seguiti da un’operazione di decimazione per 2, mentre la fase di sintesi (ricostruzione) elabora separatamente gli ingressi, attraverso un’espansione ed un filtraggio, per poi sommarli.

Per calcolare la trasformata Wavelet diretta bisogna quindi:

• Definire i filtri di analisi;
• Effettuare il filtraggio passa basso e decimare per 2;
• Effettuare il filtraggio passa alto e decimare per 2;

Per quella inversa invece bisogna:

• Definire i filtri di sintesi;
• Effettuare l’espansione per 2 e il filtraggio passa basso;
• Effettuare l’espansione per 2 e il filtraggio passa alto;
• Sommare le due uscite.

Queste operazioni devono essere iterate a seconda del numero di livelli di decomposizione con cui si vuole realizzare la trasformata.

1.1 Fase di analisi

Consideriamo la trasformata wavelet di Haar. Il filtro passa basso di analisi ha risposta impulsiva h̃(n) = h(−n) 1 1 n dove h(n) = [ ], mentre il filtro passa alto è g̃(n) = g(−n) dove g(n) = (−1) h(1 − n). Abbiamo √ √ 2 2 allora 1