Elaborazione dei segnali multimediali - Esercizi vari

Filtraggio di immagini digitali

Luisa Verdoliva, Marco Cagnazzo

29.03.07

In questa seconda esercitazione realizziamo le operazioni di filtraggio spaziale per l’enhancement di immagini. Inoltre analizziamo la trasformata di Fourier bidimensionale di un’immagine e la elaboriamo definendo il filtro direttamente nel dominio della frequenza.

1 Filtraggio spaziale

Il filtraggio spaziale opera direttamente sui pixel dell’immagine x per ottenere l’uscita. Nell’ipotesi di considerare trasformazioni lineari e spazio invarianti, il valore del pixel dell’immagine risultante, y(m, n), è dato da una combinazione lineare dei pixel di x, pesati con opportuni coefficienti a(·, ·):

∑_k,l y(m, n) = a(k, l) x(m + k, n + l) (1)

Questa operazione è evidentemente equivalente alla convoluzione (bidimensionale) tra x(m, n) e h(m, n) = a(−m, −n), ovvero alla correlazione tra x e a. Quindi il filtraggio spaziale è una elaborazione LTI dell’immagine digitale x. Ne segue che le principali caratteristiche di un filtro possono essere dedotte tenendo presente che a è (a meno di un ribaltamento) la risposta impulsiva del sistema. In particolare se l’immagine risultante è una versione “blurred” (sfocata) di quella originaria si parla di filtri di smoothing, se invece si enfatizzano i dettagli contenuti in un’immagine i filtri si dicono di sharpening. Di seguito esamineremo anche qualche esempio di filtro non lineare (filtro mediano) particolarmente adatto al filtraggio di immagini affette da rumore impulsivo.

1.1 Filtri di smoothing

Il valore del pixel risultante è una media, pesata secondo opportuni coefficienti, dei livelli di grigio di un insieme di pixel appartenenti ad una finestra di dimensioni fissate, detta anche maschera del filtro (W_KL = {(k, l) ∈ {−K, . . . , K} × {−L, . . . , L}}):

∑_k,l∈WKL y(m, n) = a(k, l)x(m + k, n + l) (2)

L’elaborazione espressa dalla (2) è valida per tutti i filtri spaziali, sia di smoothing che di sharpening, la differenza sta nella scelta dei coefficienti della maschera. In particolare, i filtri di smoothing realizzano una media pesata dei pixel dell’immagine producendo un’immagine in cui vengono ridotte le transizioni tra i livelli di grigio (si attenuano le discontinuità tra gli oggetti). Quando tutti i coefficienti della maschera sono uguali tra loro e risulta a(m, n) = ¹⁄_(2K+1)(2L+1), il valore in uscita non è altro che una media aritmetica dei pixel appartenenti ad una finestra definita dalle dimensioni della maschera. Di seguito considereremo sempre maschere simmetriche per cui è possibile confondere l’operazione di correlazione con quella