Due proiettili con la stessa velocità

Due proiettili con la stessa velocità

La conservazione dell’energia

Due proiettili con la stessa velocità.

La conservazione dell’energia

Dimostrare che se si lanciano dei proiettili con la stessa velocità iniziale, le loro velocità ad uguali quote risultano dello stesso valore indipendentemente dall'angolo di lancio.

I proiettili, poiché su essi agisce la sola forza - poiché è conservativa, conservano costante l'energia meccanica totale E. Cioè se K è l'energia cinetica in una generica posizione della traiettoria e in un generico istante. Se U è il potenziale nella stessa posizione, se K₀ e U₀ sono l'energia cinetica e potenziale nella posizione iniziale, si ha: E=K+U=K₀+U₀.

Se v₀ è la velocità iniziale, K₀=1/2 m v₀² indipendentemente dall'angolo di lancio. In un generico istante, v è la velocità del proiettile, quindi l'energia cinetica è 1/2 mv².

Per quanto riguarda l'energia potenziale per un sistema unidimensionale, si ha: U(x)=-∫_x0^x F(x)dx + U(x₀).

Prendiamo la bocca da fuoco coincidente con l'origine di un sistema il cui asse positivo delle y è diretto verso l'alto. In tale riferimento la forza di gravità, diretta verso il basso, è negativa ed ha modulo mg.

Si ha U(y_f)=-∫_y0^y_fmg + U(0) dove y è la quota del proiettile; pertanto U(y_f)=mgy_f + U(0) dove U(0)=U₀, può essere posta arbitrariamente nulla, dato che noi ci interessiamo sempre alle differenze di energia potenziale e non al valore dell'energia potenziale in senso assoluto.

Si ha alla generica quota y U(y_f)=mgy mentre U₀=0.