Due osservatori solidali

Due osservatori solidali

Lavoro ed energia

Due osservatori solidali

Lavoro ed energia

Si considerino due osservatori, uno solidale col terreno e uno solidale, per esempio, con un treno mobile con velocità costante v rispetto al terreno. Entrambi osservano un punto materiale, inizialmente fermo rispetto al treno, che viene accelerato in avanti da una forza costante applicata ad esso per un tempo t.

a) Dimostrare che per entrambi gli osservatori il lavoro compiuto dalla forza eguaglia l'aumento di energia cinetica del punto materiale, ma mentre per un osservatore tale lavoro è ¹/₂ma²t², per l'altro è ¹/₂ma²t²+maut essendo a l'accelerazione comune del punto materiale di massa m.

b) Spiegare la differenza del lavoro compiuto dalla stessa forza in funzione delle diverse distanze lungo le quali gli osservatori vedono agire la stessa forza durante il tempo t. Spiegare inoltre le diverse energie cinetiche finali misurate dai due osservatori in funzione del lavoro che la particella potrebbe compiere se fosse portata a riposo, rispetto a ciascuno dei due sistemi di riferimento.

a) Sia F la forza di modulo ma diretta orizzontalmente come a, in avanti; cioè nella direzione dell'asse x positivo. Il lavoro fatto da tale forza per spostare la particella da x₀ a x è dato nel riferimento assoluto da:

L=∫Fd_x̄=∫_x₀^x Fdx=∫_x₀^x m(dv/dt)vdt=∫_v₀^v mdv= -₁/₂ mv²+₁/₂ mv₀²

cioè è uguale alla variazione di energia cinetica. Essendo nel riferimento assoluto, solidale col terreno, la velocità v è legata all'accelerazione a dalla relazione:

v=v₀+at => v=u+at poiché v₀=u, essendo u la velocità assoluta iniziale del punto fermo rispetto al riferimento mobile. Si ha:

L=₁/₂ m(u+at)² -₁/₂ mu²=₁/₂ ma²t²+muat. Per il riferimento mobile solidale col treno v₀=0, in quanto all'inizio il punto mobile è fermo nel treno, mentre v=u+at=at. Ne deriva che nel riferimento mobile L=₁/₂ ma²t²