Due manicotti di zinco

Due manicotti di zinco: dinamica rotazionale

Determinare il momento d’inerzia di un grosso manicotto omogeneo di zinco rispetto ad un asse passante per il suo centro di massa G e perpendicolare alle corone circolari di base. (Per gli elementi geometrici e per i dati numerici si veda la Figura 7.10.1).

Considerato poi un secondo manicotto avente la stessa massa del primo, ma raggi di base rispettivamente (R₁ - k Δr) e (R₂ + Δr) [essendo k un numero adimensionale positivo, tale che (k Δr) ≤ R₁], determinare per quali valori di k e di Δr i due manicotti hanno uguale momento d’inerzia.

• H = 1,5 m = (3/2) m
• R₁ = 0,8 m = (4/5) m
• R₂ = 1,0 m
• Dens. zinco ρ = 7,1 g/cm³

(Figura 7.10.1)

Calcolo del momento d’inerzia

Come è noto dalla teoria, l’espressione generale del momento d’inerzia per una distribuzione continua di massa, è data dall’integrale:

I = ∫ r² dm (1)

Avendo indicato con r la distanza dell’elemento infinitesimo di massa dm dall’asse di rotazione. Nel nostro caso specifico, per il calcolo di I, è necessario esprimere la quantità dm in funzione di r.

Pertanto, detta ρ la densità dello zinco ed indicato con dV il volume di un manicotto infinitesimo della medesima altezza h avente raggi di base rispettivamente r ed (r + dr) [vedi Figura 7.10.2], vale la relazione:

dm = ρ dV (2)

(Figura 7.10.2)

Per calcolare dV basta moltiplicare l’area di base della corona circolare infinitesima per l’altezza del manicotto. Dunque:

dV = h [π (r + dr)² − π r²]

Sviluppando il quadrato, semplificando e trascurando il termine (dr)² perché infinitesimo di ordine superiore rispetto a dr, otteniamo:

dV = 2 π h r dr

Sostituendo nella (2) il valore di dV appena calcolato, si trova:

dm = 2 π ρ h r dr (3)

Combinando la (3) con la (1), dopo aver osservato che la densità ρ e l’altezza h non dipendono da r (cioè sono costanti), possiamo calcolare l’integrale definito tra i valori R₁ ed R₂, espresso nella variabile r, vale a dire:

I = 2 π ρ ∫_R1^R₂ r³ dr (4)

L’integrale (4) è elementare e fornisce subito il seguente risultato:

I = (½) π ρ h (R₂⁴ − R₁⁴)

Scomponendo (R₂⁴ − R₁⁴) in (R₂² − R₁²) · (R₂² + R₁²), dopo aver osservato che π h (R₂² − R₁²) è il volume del manicotto e che quindi π ρ h (R₂² − R₁²) è la sua massa complessiva M, possiamo concludere che:

I = (½) M (R₁² + R₂²) (5)

La (5) esprime dunque il valore del momento d’inerzia richiesto. Sostituendo i dati numerici forniti nella Figura 7.10.1 (essendo ρ = 7.100 Kg/m³), si trova:

I = π ( ^78.597⁄₂₅ ) Kg·m²

Posto infine π ≅ 3,14, trascurando i decimali ed arrotondando per eccesso, si ottiene:

I ≅ 9.872 Kg·m²

Seconda parte del problema

Rispondiamo ora alla 2ª parte del problema. Poiché i due manicotti hanno per ipotesi la stessa massa, essi avranno anche lo stesso momento d'inerzia se vale la seguente relazione tra i raggi di base:

(R₂ + Δr)² + (R₁ – k Δr)² = R₂² + R₁²

Sviluppando i quadrati, semplificando e ricordando che Δr ≠ 0 si ottiene l’equazione:

Δr k² – 2 R₁ k + (2 R₂ + Δr) = 0 (6)

Risolvendo per k deduciamo:

k = ^{R₁ ± √R₁2 – 2 R₂ Δr – (Δr)2}⁄_Δr

Aggiungendo e sottraendo sotto la radice la quantità R₂², il risultato assume la forma:

k = ^{R₁ ± √(R₂2 + R₁2) – (R₂ + Δr)2}⁄_Δr

Le due soluzioni della (6) sono entrambe reali e positive solo se è vera la condizione:

(R₂² + R₁²) – (R₂ + Δr)² ≥ 0

Che risolta per Δr fornisce il risultato: