Domande Fisica 2

1: Quantizzazione della carica elettrica

Le particelle che costituiscono la materia sono elettricamente neutre o hanno una carica che ha un ben determinato valore indicato di solito con la lettera perché è la carica dell'elettrone − = −1.60 10⁻¹⁹ C.

La carica del protone è la carica del neutrone è 0. Si è verificato sperimentalmente che esistono solo +, combinazioni che hanno carica possiamo dunque assumere che la carica elettrica di un qualunque oggetto sia un multiplo della carica dell'elettrone. = � − � numero protoni, numero elettroni. : :

2: Conservazione della carica

Il principio di conservazione della carica stabilisce che in condizioni statiche la carica elettrica totale contenuta all'interno di un fissato volume resta costante nel tempo. Infatti non si osserva mai la comparsa o scomparsa di una particella carica senza che simultaneamente si osservi la comparsa e la scomparsa di una particella con carica di segno opposto. Sotto forma di equazione si esprime �⃗� ⃗ � ∙ = − intchiusa

3: Principio di sovrapposizione per la legge di Coulomb

La Legge di Coulomb è espressa da 1 ⃗ �= 24 02C−12

Dove = 8.854 × 100 2 m

Il principio di sovrapposizione afferma che l'interazione tra due cariche elettriche è indipendente dalla presenza di altre cariche elettriche circostanti e quindi anche per la forza di Coulomb vale l'additività vettoriale delle forze.

4: Definizione di campo elettrostatico con carica di prova

Supponiamo che una particella carica, chiamata carica di prova, si trovi nel punto vicino a un gruppo di particelle cariche �⃗

Il campo elettrico è definito ⃗ 1 �⃗ � = = 2 4 0 0⃗ ⃗

La forza è la somma vettoriale delle singole forze dovute alle varie particelle del gruppo. Il campo elettrico si può considerare come una modificazione che si crea nello spazio per la presenza della distribuzione di carica e si ammette che questo campo esiste indipendentemente dal fatto che vi sia una particella di prova a misurarlo.

5: Calcolo campo elettrico distribuzione discreta di cariche

Consideriamo il campo elettrico generato da due o più cariche puntiformi. Utilizzando la Legge di Coulomb ⃗ posta nel e il principio di sovrapposizione abbiamo che la forza elettrica agente su una carica di prova 0 punto dovuta a due o più cariche è data da 1 1 0 1 0 2⃗ � �= + + ⋯1 22 224 4 0 01 0 1 2 0 � � �� + + ⋯ � = �= 1 2 2 2 24 4 0 01 2 Dividendo per si ottiene il campo in 0 1 �⃗ �= � 24 0

6: Calcolo campo elettrico distribuzione continua di cariche

È possibile trattare la carica come una distribuzione continua di elementi infinitesimi di carica. Applicando la formula del campo elettrico in un punto si ha che 1 �⃗ � = 24 0

Il campo elettrico generato da tutti gli elementi di carica si ottiene integrando 1 �⃗ �� = 24 0 distribuzione delle cariche

7: Definizione di densità di carica di volume, di superficie e lineare e campo elettrico generato da esse

Data una distribuzione di carica, in base alla natura di questa la carica può essere espressa mediante le relazioni per distribuzioni volumetriche di carica, dove è la densità di carica di volume; = 1 �⃗ ��= 24 0 cariche

Per distribuzioni superficiali di carica, dove è la densità di carica di superficie; = 1 �⃗ �� = 24 0 cariche

Per distribuzioni lineari di carica, dove è la densità di carica lineare; = 1 �⃗ �� = 24 0 cariche

8: Definizione di dipolo elettrico e momento di dipolo

Un dipolo elettrico è costituito da due cariche puntiformi di valore assoluto uguale e segno opposto poste distanza molto piccola rispetto alle altre distanze presenti nel contesto. Riferendosi a un dipolo si indica con il valore assoluto di entrambe le cariche, cosicché una particella ha carica e l’altra + −.

Il dipolo elettrico (cariche distanti tra loro) è caratterizzato dal momento di dipolo elettrico un vettore �⃗,2 tale che il suo modulo è mentre la direzione è la retta congiungente le due cariche e il verso è = 2, dalla carica negativa a quella positiva.

9: Definizione e caratteristiche delle linee di forza del campo elettrico

Le linee di forza del campo elettrico sono sostanzialmente una mappa del campo. Benché esse vengano tracciate bidimensionali, vanno immaginate nello spazio tridimensionale. Ciascuna linea viene tracciata in �⃗ modo che in ogni suo punto sia tangente alla linea stessa, così che le linee di forza indicano la direzione mentre le frecce indicano il verso del campo. La densità delle linee di forza è proporzionale a E quindi il, numero delle linee uscenti da una carica positiva o entranti in una carica negativa e proporzionale a ||.

10: Flusso di un campo attraverso una superficie piana

Il flusso di un campo attraverso una superficie piana è definito come il prodotto scalare tra il campo e il �⃗�⃗ vettore superficie relativo alla superficie piana, ossia (per un campo uniforme) o ϕ = ∙ ∆ = ∆ cos ϑ più in generale �⃗�⃗� �= ∙ = cos ϕ

11: Legge di Gauss per il campo elettrico in forma integrale e deduzione della legge di Coulomb

La legge di Gauss afferma che il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa arbitraria è pari alla somma algebrica delle cariche contenute all'interno del volume delimitato dalla superficie divisa per la costante dielettrica del vuoto. Sotto forma di equazione 1int �⃗�⃗ ��ϕ = ovvero ∙ = 0 0 intchiusa

Per dedurre la legge di Gauss dalla legge di Coulomb analizziamo prima il flusso attraverso una superficie arbitraria con carica puntiforme all'esterno, in particolare consideriamo una superficie gaussiana a forma di tronco di cono con basi sferiche. Il campo è dovuto a una particella carica e la superficie è formata da due calotte sferiche e quattro facce piane radiali.

Si osserva subito che il flusso attraverso le facce radiali è nullo in quanto il vettore superficie è perpendicolare al campo mentre il flusso attraverso le due calotte sferiche è ⃗�⃗ �� � ϕ = ∙ = − = − = − ∆1 12 124 4 0 0 11 1 1 ⃗�⃗ �� � = ∙ = = = ∆ϕ2 22 224 4 0 0 22 2 222 2∆

Si ha che ossia e sostituendo nell’equazione si ha che 2 2 �� ∆= ∆ = ϕ = −ϕ2 1 2 112 2∆ 1 1

E quindi il flusso totale attraverso la superficie chiusa è ϕ = ϕ + ϕ = ϕ − ϕ = 0 1 2 1 1

Una superficie di qualunque forma può essere approssimata combinando un numero infinito di calotte sferiche e di facce piane radiali infinitesimali. Dato che i flussi attraverso le calotte sferiche si elidono a due a due e il flusso attraverso le facce piane e radiali è nullo, sia che per ogni superficie di forma arbitraria il flusso dovuto alla particella carica esterna il volume era chiuso è nullo ⇒ ϕ = 0.

Consideriamo ora il flusso dovuto una carica puntiforme posta nel centro di una superficie gaussiana sferica di raggio in ogni punto della superficie è parallelo a e il suo modulo e la sua componente. ⃗��⃗ radiale hanno il medesimo valore quindi ∙ = �, �⃗�⃗ 2�� � = ∙ = = = 4 =ϕ 24 0 0 Sfera Sfera Sfera

Dato che non dipende dal raggio il flusso è lo stesso per sfere di raggio qualsiasi. ϕ ,

Una superficie di forma arbitraria può essere concepita come limite di un numero infinito di calotte sferiche e facce piane radiali infinitesime. Pertanto, per una superficie chiusa di forma qualsiasi, il flusso dovuto una particella di carica interna il volume racchiuso è pari , ⇒ ϕ = / 00

Dato un numero arbitrario di cariche interne ed esterne ad una superficie qualsiasi, si ha che, per quanto visto finora �⃗ �⃗�⃗ ����⃗ �⃗� �ϕ = ∙ = � + + ⋯ � ∙ = chiusa chiusa �⃗ �⃗����⃗ ����⃗�� ∙ + ∙ + ⋯= ��������� ��������� chiusa chiusa ϕ ϕ1 2

Si ha che se è esterna alla superficie mentre se è interna alla superficie. Quindi in ϕ = 0 ϕ = 0 definitiva si ha che, come enuncia la legge di Gauss int ϕ = 0

12: Legge di Gauss in forma differenziale

Consideriamo un volumetto intorno a un punto e la superficie chiusa che lo racchiude. Si ottiene la ∆ ∆�⃗ divergenza del campo nel punto calcolando: ϕ∆ϕ�⃗ div = lim = ∆∆→0

Consideriamo ora un volumetto cubico di spigoli Il flusso attraverso la faccia rivolta verso l’asse, , . ′ mentre il flusso attraverso la faccia opposta è positivo è = , ϕ = − ϕ1 2

Dato che le due facce del cubo sono molto vicine si può scrivere ′ = − ′ )(⇒ ϕ =+ ϕ = − 1 2

Tenendo conto anche delle altre due coppie di facce del cubo si ha che ϕ = � + + � �⃗⇒ div = + +

Nel caso del campo elettrico si ha che int �⃗ϕ = = div 0

E dato che si ha int = legge di Gauss �⃗ � �=⇒ div in forma differenziale 0

13: Campo elettrico generato da un piano uniformemente carico

Consideriamo una superficie gaussiana cilindrica posizionata simmetricamente rispetto al piano carico in �⃗ è uscente dal piano modo che il punto sia posizionato su una delle due facce. Il campo elettrico perpendicolare ad esso e quindi è parallelo ai vettori superficie delle due facce, e con lo stesso verso.

⃗�⃗�⇒ ϕ = ∙ = 2∆ = 2 ∆ La carica contenuta nel cilindro è e quindi per la legge di Gauss si ha che = ∆int ∆ ∆int⇒ ϕ = = ossia 2 ∆ = 0 0 0⇒ = 2014

14: Campo elettrico di un filo rettilineo

Consideriamo una superficie cilindrica di raggio posizionata con il proprio asse coincidente al filo rettilineo in modo che il punto sia posizionato sulla sua superficie �⃗ laterale. Il campo è uscente dal filo radialmente e quindi è ortogonale ai vettori superficie delle due basi e parallelo in ogni punto ai vettori superficie della superficie laterale. Si ha quindi ⃗�⃗ (2ℎ )�ϕ = ∙ = la carica contenuta nel cilindro è e quindi per la legge di Gauss si ha che = ∆ = ℎint ℎ ℎint (2ℎ )⇒ ϕ == = ossia 0 0 0⇒ = 2 015

15: Campo elettrico di una sfera uniformemente carica

�⃗ Consideriamo prima una superficie gaussiana sferica di raggio interna alla sfera. Il campo è < 0 ⃗ radiale rispetto al centro della sfera quindi sarà parallelo in ogni punto ai vettori superficie della sfera gaussiana ⃗�⃗ 2(4 )�⇒ ϕ = ∙ =

La sfera ha volume e carica indichiamo con la sua densità di carica di volume , = = 4 33 04 3

La sfera gaussiana ha volume e ha carica = 0 int3 34 43 3⇒ = = = = int 0 4 33 3 3 03 0

Per la legge di Gauss si ottiene 3 24 = 03 0 )(= < ⇒ 0034 0

Se consideriamo invece una superficie gaussiana sferica che contiene la sfera carica , l’espressione > 02 e la carica contenuta è per la legge di Gauss si ha del flusso è sempre (4 ) = = ,ϕ int2(4 ) = 0 )(⇒ = > 024 016

16: Campo elettrico di un dipolo a grandi distanze

Consideriamo un dipolo di carica e posizioniamo il sistema di orientamento degli assi nel punto medio del dipolo in modo di avere le cariche posizionate lungo l’asse a Supponiamo che il punto si trovi lungo ±. l’asse a grandi distanze dall’origine. Il campo elettrico nel punto è dato dalla somma dei campi e