Differenza di fase

Differenza di fase

Oscillazioni

Problema

Due masse puntiformi si muovono di moto armonico semplice con la stessa ampiezza e frequenza lungo una stessa retta. Esse passano una vicino all'altra, quando stanno andando in direzioni opposte nel momento in cui il loro spostamento è la metà dell'ampiezza di oscillazione. Qual è la differenza di fase tra di esse?

Soluzione

La prima massa oscilla di moto armonico secondo l'equazione x₁=Acos(wt+delta₁).

La seconda massa oscilla di moto armonico secondo l'equazione x₂=Acos(wt+delta₂), essendo uguali le ampiezze e le frequenze dei due moti armonici.

Ad un certo istante t₁, lo spostamento della prima massa è metà dell'ampiezza di oscillazione; cioè A/2 = Acos(wt₁+delta₁) => cos(wt₁+delta₁) = 1/2.

A quello stesso istante t₁ le coordinate delle due masse sono uguali, perché le due masse stanno passando vicine una all'altra. Cioè t=t₁ => x₁=x₂ => cos(wt₁+delta₁) = cos(wt₁+delta₂).

D'altra parte le due masse quando passano vicine stanno andando in direzioni opposte, cioè le loro velocità v₁ e v₂ sono opposte, essendo v₁ = dx₁/dt = -A w sen(wt+delta₁); v₂ = dx₂/dt = -A w sen(wt+delta₂).

Si ha: t=t₁ => v₁ = -v₂ => sen(wt₁+delta₁) = - sen(wt₁+delta₂).

Dunque cos(wt₁+delta₁) = 1/2 => wt₁+delta₁ = pi/3.

D'altra parte { cos(wt₁+delta₁) = cos(wt₁+delta₂) (sen(wt₁+delta₁) = -sen(wt₁+delta₂) per cui dalla figura si vede che gli argomenti (wt₁+delta₁) e (wt₁+delta₁) - (wt₁+delta₂) = 2pi/3.

Si ha allora delta₁ - delta₂ = 2pi/3 rad = 120deg.