Derivata dei vettori rispetto al parametro

Derivata dei vettori rispetto al parametro calcolo vettoriale ed analisi dimensionale Derivata dei vettori rispetto al parametro calcolo vettoriale ed analisi dimensionale

Si calcoli la derivata dei seguenti vettori rispetto al parametro t:

• v₁ = t u_x + √3 t u_y;
• v₂ = cos t u_x + sin t u_y.

Si determini inoltre la quantità: ∫₀^a [v₁(t) - v₂(t)] dt.

Calcolo delle derivate

Incominciamo col calcolare le derivate dei due vettori. La derivata di una di una variabile, è un vettore che ha come componenti le derivate delle componenti del vettore iniziale; analizziamo ora i due casi:

Vettore 1

(i) Il vettore ₁ = t _x + √3t _y è un vettore che varia solo in modulo, mentre la sua direzione e verso rimangono costanti. Infatti la sua inclinazione rispetto all'asse delle x è data da ^₁ = atan(√3) = 60°. (1)

Il vettore derivata è pari a ^d₁ = _x + √3_y, (2) che è un vettore costante e diretto come il vettore ₁.

Vettore 2

(ii) Nel caso del vettore ₂ = cos t _x + sin t _y, il modulo è costante: |₂| = √cos²t + sin²t = 1, (3) ciò non implica tuttavia che la derivata sia nulla, infatti il vettore ₂ cambia direzione al variare di t.

La pendenza del vettore rispetto all'asse x è in questo caso pari a m = − ₂ = tan t. (4)

La derivata del vettore sarà quindi data da _dv2/_dt = - sin t _ux + cos t _uy. (5)

Il vettore derivata è anch’esso di modulo costante ed unitario, ma ha direzione ortogonale al vettore v₂. Infatti, la sua pendenza è data da m = –_vy/_vx = –1/_{tan t} = –1/_m, (6) che è la condizione di ortogonalità tra due rette.

Generalizzando i risultati ottenuti nei due casi si può dire che la derivata di un vettore è diversa da zero quando varia il suo modulo oppure la sua direzione o entrambe. Inoltre, la direzione del vettore derivata sarà la stessa del vettore iniziale quando questo varia solo in modulo, sarà ortogonale a quella del vettore iniziale quando questo varia solo in direzione, sarà generica nel caso in cui il vettore iniziale vari sia in modulo che in direzione.

Calcolo dell’integrale

Passiamo ora al calcolo dell’integrale: I = ∫₀^a [_v1(t) – _v2(t)] _dt = ∫₀^a [t _ux + √3t _uy] – [cos t _ux + sin t _uy] _dt. (7)