Vettori (somma, prodotto e derivata)

Vettori

Grandezze scalari vettoriali.

Vettore e caratteri standard:

• Modulo
• Direzione
• Verso

I vettori sono applicati in un punto; il punto di applicazione è rilevante.

Campi vettoriali

Regione di uno spazio, ad ogni punto della quale può essere associato un vettore; campo vettoriale è dunque l'insieme di tali vettori.

I campi in cui per ogni punto dello spazio i vettori sono equipollenti.

Campi uniformi

I campi in cui i vettori, pur diversi, si mantengono invariati nel tempo.

Campi stazionari

Somma di vettori

Grafico dei vettori.

d = a + b

Proprietà dei vettori

• Prodotto vettore per scalare: _ma = m_a; _mB = b^'._b = m^A_B
• Proprietà commutativa: _a + b = b + _a
• Proprietà associativa: (_a + b) + c = _a + (b + c)

Scomposizione di un vettore

Scomposizione vettoriale.

Vettori componenti.

_a = _ax + _ay

_ax = _a._î

_ay = _a._ĵ => _a = _axî + _ayĵ

Modulo.

Direzione e verso.

Vettori

Grandezze scalari vettoriali.

Vettore e caratteristiche:

• Modulo
• Direzione
• Verso

I vettori sono applicati in un punto; il punto di applicazione è rilevante.

Campi vettoriali

Regione di spazio ad ogni punto della quale può essere associato un vettore; campo vettoriale è detto l'insieme di tali vettori.

I campi in cui per ogni punto dello spazio i vettori sono equipollenti.

Campi uniformi

I campi in cui i vettori, punti diversi, si mantengono inalterati nel tempo.

Somma di vettori

c = ā + b̅

Proprietà dei vettori

• Prodotto vettore per numero: (m*a̅) = ā*bm = m*b̅; m=-1 (ā ) → b̅ = -ā
• Proprietà commutativa: ā + b̅ = b̅ + ā
• Proprietà associativa: (ā + b̅) + c = ā + (b̅ + c)

Scomposizione di un vettore

Δr = Δx + Δy

Vettori componenti.

Δr̅

Δx̅ = Δx * i̅

Δy̅ = Δy * ĵ

Δr̅ = Δx*ī + Δyīj

• Componenti
• Versori unitari

Δr = √(Δx² + Δy²)

Modulo.

Direzione e verso.

Versori

Modulo unitario.

Notazioni: i j k

Somma in coordinate cartesiane

a = a_xî + a_yĵ

b = b_xî + b_yĵ

(a + b) = (a_x + b_x)î + (a_y + b_y)ĵ

Prodotto tra vettori

Prodotto scalare

Prodotto scalare: a · b = a b cosθ

È uno scalare.

a_xb_x + a_yb_y = a b cosθ

a · b = 0

a ⊥ b

Proprietà:

• Commutativa: a · b = b · a = ab cosθ
• Distributiva: ĸ · (b + c) = ĸ · b
• Teorema di Carnot, del coseno: c = a + b; c² = (a̅a_x ² + b² = a b cosθ

Prodotto vettoriale

Prodotto vettoriale: a x b = ab sinθ

Area del parallelogramma.

Proprietà:

• Non commutativo: a x b = - b x a
• Null vector if one is zero or vectors are parallel
• Distributiva: a x (b + c) = a x b + a x c
• Non associativa: a x (b x c)

(a x b) · c

(c x ) · b

{ μₓ × μₓ = 0 μₓ × μᵧ = μ_z }

Il prodotto vettoriale è definito dal determinante.

į · b = a bₜ

į × b = į × (bₜ + bₙ) = į × bₜ + į × bₙ = b × bₙ

Momento di un vettore rispetto ad un polo

Momento di un vettore rispetto ad un polo M_o = OP x F _o ∥ M_o ∥= ∥OP _∥ë F | sinθ P _{è ortogonale al piano individuato da OP x F P = O P = xF = ∥OP}