Curve parametriche, superfici e limiti di funzione

Analisi II, a.a. 2010-2011 — Esercizi 6 — 2 Dicembre 2010

1)

Consideriamo le curve in forma parametrica in R²:

• φ : R → R², φ(t) = (cos t, cos(2t));
• φ : R → R², φ(t) = (1 + cos t, sin t);
• φ : ]0, π/2[ → R², φ(t) = (sin t, cos t);
• φ : R → R², φ(t) = (t³, sin t).

Per ognuna di queste curve, dire per quali valori del parametro t esse sono continue, per quali sono C¹, e calcolare la derivata φ'(t). Inoltre dire se si tratta di curve regolari o semplici. Infine disegnarne il grafico.

[Facoltativo: calcolare la lunghezza d’arco s(t) = ∫₀^t |φ'(σ)|dσ.]

2)

Sia F : Rⁿ → Rⁿ un’applicazione di classe C¹ e supponiamo che il determinante Jacobiano det DF(x) sia diverso da zero in tutti i punti x ∈ Rⁿ. Dimostrare che l’applicazione F è aperta, ossia per ogni aperto A anche l’insieme F(A) è aperto.

[Facoltativo: aggiungiamo l’ipotesi lim_|x|→∞ |F(x)| = +∞, il che vuol dire: per ogni N > 0 esiste M > 0 tale che |x| > M implica |F(x)| > N. Allora l’immagine di F è tutto Rⁿ.]

3)

Sia data una superficie S in R³, regolare di dimensione 2, in forma cartesiana, ossia del tipo z = ψ(x, y), ψ : A ⊂ R² → R, dove A è un aperto di R². Sia P = (x₀, y₀, z₀) un punto della superficie, cioè tale che (x₀, y₀) ∈ A e z₀ = ψ(x₀, y₀).

Dimostrare che esiste una palla B di centro P e un’applicazione C¹ localmente invertibile G : B → R³ che porta i punti della superficie S nel piano coordinato z = 0; in altri termini, con un cambiamento di coordinate si può spianare localmente la superficie. [Suggerimento: G(x, y, z) = (x, y, z − ψ(x, y)).]

4)

Consideriamo la superficie S in R³ espressa in forma cartesiana:

z = f(x, y) = x² + 2y².

Verificare che il punto P = (1, 1, 3) appartiene alla superficie. Scrivere l’equazione del piano tangente a S nel punto P. Scrivere l’equazione del piano passante per l’origine parallelo al piano tangente. Calcolare un vettore normale a S in P. Quali di questi vettori appartengono allo spazio tangente a S in P: (0, 0, 0), (−2, 0, 1), (6, 1, 1), (1, 1, 3)?

5)

Siano

f(x, y) = e^sen(y) ∫_sen(x)^2t dt,   Q = [0, 2π] × [0, 2π].

Determinare massimi e minimi relativi ed assoluti di f su Q.

6)

Sia f(x, y) = y²(1 + 3sen(x)) − x³ − y.