Corrente di spostamento, problemi svolti

Fisica problemi svolti: la corrente di spostamento

Le equazioni di Maxwell

Marzo 2022

Pag. 2 di 26

Romeni - Fisica e Realtà Blu V3 – Zanichelli

Pag. 3 di 26

Pag. 4 di 26

Problema sulla differenza di potenziale fra le armature

Di quanto deve aumentare ogni secondo la differenza di potenziale fra le armature di un condensatore 1,0 = 1,0da per generare una corrente di spostamento all’interno di un condensatore?

[1,0 ⋅ 10 / ]

Svolgimento

Q = C ⋅

Capacità C, carica Q e differenza di potenziale sono legate dalla relazione:

C = =

La capacità dipende dalla geometria del condensatore: e .

Sostituendo, abbiamo: ⋅ = ⋅⋅ =⋅ = Φ → = Φ

Derivando rispetto al tempo: = Φ" #! ! Φ=! !

Ma: Φ =!

Per cui: =!1.0= = 1 ⋅ 10 & '! 1,0 ⋅ 10 %

Problema sul campo magnetico in un condensatore a facce piane parallele

Un condensatore a facce piane parallele ha le armature circolari di raggio 10 cm e la distanza fra le armature è 1,0 mm. Il campo elettrico fra le armature cresce al ritmo di 1,0 ⋅ 10 / (⋅. Calcola l’intensità del campo magnetico:

• A) Sull’asse;
• B) A 3,0 cm di distanza dall’asse;
• C) A 7,0 cm di distanza dall’asse [) 0; + 1,7 ⋅ 10 /; 0 3,9 ⋅ 10 /]%- . %-.

Svolgimento

3, Applichiamo la legge di Ampère Maxwell al percorso chiuso concentrico all’asse del condensatore:

Pag. 5 di 268⃗6⃗4 5 ⋅ :9

Non c’è corrente di conduzione, per cui: 6⃗Φ8⃗6⃗4 5 ⋅ !93

La circuitazione di B lungo vale: 8⃗6⃗4 5 ⋅ 5 ⋅ 2<=9

E quindi: 6⃗Φ1 5 ⋅ 2<= !

Dove il flusso di E attraverso la superficie di raggio r, è:

Φ ⋅ ⋅ <= >

E la sua variazione è: dΦ ⋅ <= >dt !

Sostituiamo nella (1): 5 ⋅ 2<= ⋅ <= >!

Ed otteniamo: 5 = ⋅=2 !

Calcoliamo i valori di B richiesti:

= 0→5 0

A) Sull’asse: = 3,0 0( →

B) A distanza 4< ⋅ 10 ⋅ 8,85 ⋅ 10%B %->5 = 0,03( 1,0 ⋅ 10 ⋅ 0,03( 1,7 ⋅ 10 /%-.2

= 7,0 0( →

C) A distanza 4< ⋅ 10 ⋅ 8,85 ⋅ 10%B %->5 = 0,07( 1,0 ⋅ 10 ⋅ 0,07( 3,9 ⋅ 10 /%-.2

Pag. 6 di 26

Problema sulla corrente di spostamento interna

Un condensatore è costituito da due armature piane parallele, di forma quadrata con lato 5,0 cm, e distanti fra loro 0,50 mm. Qual è la corrente di spostamento al suo interno se la differenza di potenziale fra le armature cresce al ritmo di 5,0 ⋅ 10 /E ?

G ⋅ HI KLFG, %J

Svolgimento

Conosciamo la velocità di variazione della differenza di potenziale fra le armature:

5,0 ⋅ 10 /E!

Scriviamo la formula della corrente di spostamento:

Quella del flusso del campo elettrico: Φ ⋅ ⋅ 8 >6⃗ΦM 8N >& ⋅ 8 ' ⋅>! ! !

Ora sostituiamo nella formula di : 8 >⋅! 0,05 ( >8,85 ⋅ 10 ⋅ 5,0 ⋅ 10 / ⋅ 2,2125 ⋅ 10%-> E %E1,0 ⋅ 10 (%.2,2 ⋅ 10 %E

Problema sul flusso elettrico nel dielettrico

6⃗ΦM 8,76 ⋅ 10 (/ !N . > P

Il flusso elettrico attraverso una determinata area di un dielettrico è . La 12,9 Q ! 26,1 (corrente di spostamento attraverso quest’area è pari a all’istante . Calcola la costante dielettrica assoluta del dielettrico. IR ⋅ HI S /MT ⋅ UFG, NL%HH G G

Svolgimento

Nota la corrente di spostamento ed il flusso, possiamo calcolare il valore della costante:

6⃗ΦM N →! 6⃗ΦM N!

Pag. 7 di 26

Abbiamo l’espressione del flusso in funzione del tempo, ne facciamo la derivata:

6⃗ΦM 8,76 ⋅ 10 (/ !N . > P 4! ⋅ 8,76 ⋅ 10 (/. . >! !! 26,1 ( 26,1 ⋅ 10 %.

Valutiamo al tempo 6⃗ΦM NV 4 26,1 ⋅ 10 ⋅ 8,76 ⋅ 10 (/ 0.62299 /(%. . . >! WX> ,- Y

Ed ora la costante assoluta: 6⃗ΦM N!12,9 ⋅ 10 %->0.62299 Z [( >2,07 ⋅ 10 %-- \( >

Problema sul condensatore caricato e la corrente di conduzione nel filo

Un condensatore a facce piane parallele è caricato come in figura. Le armature circolari hanno raggio 4,00 cm e, in un dato istante, la corrente di conduzione nel filo è 0,280 A. Calcola:

• A) La densità della corrente di spostamento nell’aria, nello spazio compreso fra le armature;
• B) Il valore della rapidità di variazione del campo elettrico;
• C) Il campo magnetico indotto fra le armature alla distanza di 2,00 cm dall’asse;
• D) Il campo magnetico indotto fra le armature alla distanza di 1,00 cm dall’asse.

Svolgimento

A) La densità della corrente di spostamento nell’aria, nello spazio compreso fra le armature è data da: ]0,280 )] 55,7<^ < 0,04( (> > >

B) Il valore della rapidità di variazione del campo elettrico:

66⃗[Φ Z1] →] ⋅ !0

Pag. 8 di 26

1 EA] = ⋅ !0 Z [55,7 ( & '] 2 = 6,29 ⋅ 10 12j = → = (⋅8,85 ⋅ 10 /\(= −12 2 2b ! !

C) Il campo magnetico indotto fra le armature alla distanza di 2,00 cm dall’asse.

D) Il campo magnetico indotto fra le armature alla distanza di 1,00 cm dall’asse.

3 = Applichiamo la legge di Ampère Maxwell al percorso chiuso di raggio concentrico all’asse del condensatore:

8⃗6⃗4 5 ⋅ = +9

Tra le armature c’è solo corrente di spostamento: 6⃗Φ8⃗ 8⃗6⃗ 6⃗4 5 ⋅ = →4 5 ⋅ = !9 93

La circuitazione di B lungo vale: 8⃗6⃗ ⋅ = 5 ⋅ 2<=4 59

E quindi: 6⃗Φ1 5 ⋅ 2<= = !

Dove il flusso di E attraverso la superficie di raggio r, è:

Φ = ⋅ = ⋅ <= >E

Sostituiamo nella (1): 5 ⋅ 2<= = <= >!E

5 = = ⋅ =2 !E

Il valore di B richiesto, nei due casi, è:

⋅ 0,02( = ⋅ 6,29 ⋅ 10 & ' ⋅ 0,02( = 0,70 /->E 2 ! 2 (⋅5 = = ⋅ ==d E2 !

⋅ 0,01( = ⋅ 6,29 ⋅ 10 & ' ⋅ 0,01( = 0,35 /->2 ! 2 (⋅

Problema sul dielettrico tra le armature

3 0( >

Supponi che le armature del condensatore del problema precedente abbiano una superficie di e siano separate da uno strato di dielettrico dello spessore di 2,50 mm che riempie completamente lo spazio fra esse. Il dielettrico ha costante relativa pari a 4,70. In un determinato istante la differenza di potenziale tra le armature è di 120 V e la corrente di carica è pari a 6,00 mA. In questo istante calcola:

Pag. 9 di 26

• A) La carica presente su ogni armatura;
• B) Il valore di efeW;
• C) La corrente di spostamento nel dielettrico. J, hh ⋅ HI S; i j, IIUK; k j, II UKLFg %HI

Svolgimento

La carica presente su ogni armatura è data da: l= Δ

l= Δ

Per la presenza del dielettrico:

l= Δn 10 3,0 ⋅ 10 (%-> > %P >

l = 4,70 ⋅ ⋅ 120 V = 5,99 ⋅ 10 C"8,85 # %-\( 2,5 ⋅ 10 (> %.

efeW è il valore istantaneo della corrente:

Il valore di p = 6.00 (!

La corrente di spostamento nel dielettrico è pari a quella di carica: