Convergenza seri esponenziale con seno in valore assoluto

Esercizio sulla convergenza serie esponenziale con coseno in valore assoluto

Esercizio sulla convergenza serie esponenziale con coseno

In valore assoluto

Studiare la convergenza della serie ∑n=1 \( n \left( \frac{1}{n} | \cos n | \right)^n \)

La serie è a termini positivi e la presenza dell'esponente n ci induce a pensare al criterio della radice.

Quindi proviamo a studiarne il carattere. Con tale criterio, è posto a_n = n \( \frac{1}{n} | \cos n | \)

Calcoliamo il limite \(\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} \) = \(\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n \left( \frac{1}{n} | \cos n | \right)^n }\) = \(\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} \cdot \sqrt[n]{ \left( \frac{1}{n} | \cos n | \right) }\) = = \(\lim_{n \to \infty} n^{\frac{1}{n}} | \cos n | \cdot \lim_{n \to \infty} e^{\frac{\ln n}{n}} \cdot \left( \frac{1}{n} | \cos n | \right) \) = \( e^0 \cdot 0 = 1 \cdot 0 = 0

Poiché il risultato è una quantità minore di uno, per il criterio della radice la serie di partenza converge.