Circuiti elettrici II, leggi di Ohm, leggi di Kirchhoff problemi svolti.

Aprile 2022

Fisica: i circuiti elettrici

Problemi svolti

• La corrente elettrica
• La prima legge di Ohm
• Resistori in serie e in parallelo
• La seconda legge di Ohm
• Generatori di tensione ideali e reali
• Le leggi di Kirchhoff

10 con le derivate = 0,10 +

Una corrente variabile nel tempo trasporta carica secondo la legge. Determina l'intensità di corrente istantanea in funzione del tempo.

▶ Determina l'intensità di corrente all'istante t=2,0 s

Svolgimento

L'intensità di corrente istantanea in funzione del tempo è la derivata rispetto al tempo di Q(t), calcoliamola:

= 0,10 ⋅ −1,5!

Per determinare il valore all'istante di tempo t=2,0 s, sostituiamo nella variabile t, questo valore:

2,0! ⋅ %−0,15 &= , #,$ !2,0! = −0,15 ⋅ '!2,0! -= −7,46806 … 1 ⋅ 10 ' = −7,5

11 con le derivate = 2,0 sin 1,5!

La carica elettrica che attraversa una sezione trasversale di un filo varia nel tempo con la legge. Calcola la funzione che fornisce istante per istante l'intensità di corrente nel filo.

▶ Determina il valore della corrente all'istante t = 0,20 s.

▶ Qual è il valore massimo dell'intensità di corrente? Determina qual è il primo istante di tempo t (con t> 0) in cui essa assume tale valore.

Svolgimento

Deriviamo la funzione Q(t), rispetto al tempo:

= 2,0 cos 1,5! ⋅ 1,5 ⋅ != 3,0 ⋅! cos 1,5!

La funzione i(t) è la seguente: 0,2! = 3,0 ⋅! cos 1,5! ⋅ 0,2!

Inseriamo t=2,0 s e calcoliamo il valore di i(t):

0,2! = 3,0 ⋅! cos 0,3 ?@ = 3,0 /!

Non dimentichiamo che l'argomento della funzione coseno è espresso in radianti è non in gradi. cos 1,5! =1

Il valore massimo dell'intensità di corrente si ottiene quando la funzione coseno è massima, ovvero quando questo istante di tempo, abbiamo:

sìa = 3,0 /! cos 1,5! =1 quando: 2B 2B ovvero: = != ! = 4,186666C 1,5= 4,2 !

12 con gli integrali = 4,0 - ⋅ !

Con la misura di una corrente che scorre in un tratto di conduttore si ottiene la legge. Scrivi la funzione che esprime la carica elettrica al variare del tempo.

Svolgimento

Bisogna integrare la funzione i(t):

=D -= D %4,0 &!= 4,0 -/! D- -#= %4,0 & ⋅ + → = %2,0 & +#! !2

Per determinare la costante di integrazione C, imponiamo che al tempo t=0 la corrente sia nulla:

0 = 0 → 0 = F2,0 H 0 + → =0G -= %2,0 & #!

Circuito con batteria e resistori

Un circuito contiene una batteria da 36,0 V e due resistori collegati in parallelo. Le loro resistenze sono rispettivamente uguali a 150Ω e 300Ω. Quanto vale l'intensità di corrente erogata dal generatore?

▶ Quanto valgono le correnti che attraversano i due resistori?

Svolgimento

I due resistori sono in parallelo, bisogna calcolare la resistenza equivalente:

J = = #1 1 J + JKL + #J J#150 ⋅ 300J = = 100Ω450KL

Il circuito iniziale è equivalente a quello di destra. Applichiamo la prima legge di Ohm per determinare la corrente totale che esce dal generatore e che è la stessa che attraversa la resistenza equivalente:

ΔN 36,0 N stessa che attraversa la resistenza equivalente:

ΔN = J → = = = 0,36 -J 100ΩKL KL

Per calcolare le correnti che scorrono nelle singole resistenze, osserviamo che, poiché i resistori sono disposti in parallelo, ognuno di essi è sottoposto alla stessa differenza di potenziale:

ΔN 36,0 N Quindi si trova: i = = = 0,24 -R 150Ω

ΔN 36,0 Ni = = = 0,12 -R 300Ω# #

Le correnti nei due rami sono inversamente proporzionali alle corrispondenti resistenze: dove la resistenza è minore, l'intensità di corrente è maggiore.

Circuito con generatore da 80 V

Il circuito in figura contiene un generatore che mantiene una differenza di potenziale di 80 V e cinque resistenze che valgono 36 J = 80Ω, J J 10Ω, J 20Ω, J 40Ω. Risolvi il circuito.

Svolgimento

Nel circuito sono presenti resistori collegati in serie e in parallelo, calcoliamo la resistenza equivalente del circuito. Come prima cosa calcoliamo la resistenza equivalente alla serie 2-3-4:

Resistenza equivalente alle serie 2-3-4: J J J J 40Ω

Ora consideriamo il parallelo tra e la resistenza appena calcolata:

Resistenza equivalente al parallelo tra ed :

J #'P1 1 J J#'PJ = 40 ⋅ 40J 20Ω80#'P

Sommiamo infine in serie con: J = J + J = 80Ω + 20Ω = 100Ω

Resistenza equivalente totale KL #'PΔN 80N

Calcoliamo l'intensità di corrente fornita dal generatore, applicando la prima legge di Ohm:

= = = = 0,80-J 100 ΩKL= J = 0,80- ⋅ 80Ω = 64 NΔN

Questa corrente attraversa anche il primo resistore, pertanto la differenza di potenziale ai suoi capi vale:

ΔN = ΔN − ΔN = 80N − 64N = 16N

Nel parallelo abbiamo: J ΔN 16N La corrente che attraversa il resistore: = = = 0,40-J 40ΩJ J J# ' PJ J

I resistori in serie sono attraversati dalla stessa corrente pari alla metà della corrente, infatti nel parallelo con , la serie vale esattamente la metà:

#'P = = = − = 0.40-#'PΔN = J = 0,40- ⋅ 10Ω = 4,0 N

Calcoliamo infine le differenze di potenziale ai capi dei resistori:

ΔN = J = 0,40- ⋅ 20Ω = 8,0 N' ' '

ΔN = ΔN = 4,0NP # ΔN + ΔN + ΔN = 16N = ΔN

Osserviamo che nel parallelo la d.d.p. è la stessa.

Circuito con generatore da 28 V

Nel circuito della figura il generatore mantiene una differenza di potenziale di 28 V e le resistenze valgono R1 = 300 Ω, R2 = 200 Ω, R3 = 240 Ω e R4 = 480 Ω. Risolvi il circuito.

Svolgimento

Riduciamo il circuito dato ad un circuito equivalente per poter calcolare il valore della corrente i, fornita dal generatore. Come prima cosa calcoliamo i due paralleli e la resistenza equivalente:

Parallelo tra: J J# 1 J ⋅ J 300 ⋅ 200 J Ω 120 Ω#1 1 J J 500# #

Parallelo tra: J J#J J' P 1 J ⋅ J 240 ⋅ 480 J Ω 160 Ω' P1 1 J J 720'P ' PJ 4'

Otteniamo il circuito equivalente seguente:

J = J + J = 280Ω Sommando le due resistenze in serie, abbiamo infine:

KL # 'PΔN 28,0 V Applicando la prima legge di Ohm:

→ 0,100A 100mAΔN J J 280ΩKL KL

Le differenze di potenziale ai capi dei due paralleli sono:

ΔN J 120Ω ⋅ 0,100- 12,0N

ΔN J 160Ω ⋅ 0,100- 16,0N# 'PΔN 12,0N

Le correnti che circolano nei 4 resistori valgono:

• 4,00 ⋅ 10 - 40.-#J 300Ω
• ΔN 12,0V 6,00 ⋅ 10 A 60mA#J 200Ω# #
• ΔN 16,0 V 0,0667A 66,7mA#3 240Ω'
• ΔN 16,0 V 0,0333A 33,3mA#J 480ΩP P

Circuito con generatore da 24,0 V

Il circuito nella figura è alimentato da un generatore che eroga una tensione di 24,0 V. Calcola le intensità di corrente che attraversano ogni resistore.

Svolgimento

I resistori 2,3,4 sono in parallelo, consideriamo il circuito in figura equivalente a quello dato:

Calcoliamo il parallelo 2-3-4:

= + +V#'P V V VW X Y1 J J J J JJ' P # P # 'J J J J#'P # ' PJ J JJ # ' PJ J J J J J#'P ' P # P # '8 ⋅ 12 ⋅ 10J Ω 3,24 Ω120 80 96