Campo gravitazionale al centro del triangolo equilatero

Campo gravitazionale al centro del triangolo equilatero

Si considerino tre corpi puntiformi di massa M₁ = 1 kg, M₂ = 2 kg e M₃ = 3 kg posti ai vertici di un triangolo equilatero di lato l = 0.2 m come in figura:

Si calcoli il valore del campo gravitazionale al centro del triangolo, generato da questa configurazione di masse.

Distanza tra vertice e centro del triangolo

Intanto calcoliamo la distanza d tra un vertice qualsiasi e il centro del triangolo equilatero. Per ricavarla basta osservare che i tre segmenti che partono da un vertice e arrivano al centro dividono il triangolo in tre triangoli isosceli di base l e con i due lati uguali di lunghezza d. Inoltre l’angolo tra i due lati uguali vale 120°.

L’area di uno di questi triangoli isosceli è un terzo di quella del triangolo di partenza che vale:

A = ¹/₂ l² · sin(60°)

mentre l’area di uno dei tre triangoli isosceli è:

A_I = ¹/₂ d² · sin(120°)

Ponendo:

A = 3A_I

si ottiene:

d = √(^l2/₃ · ^{sin 60°}/_{sin 120°}) = ^l/_√3

come noto. Dunque, essendo l = 0.2 m, si ha:

d = ^{0.2 m}⁄_√3 ≡ 0.115 m

Campo gravitazionale delle masse

Il campo gravitazionale generato dalla massa M_j con j = 1, 2, 3 è:

g_j = G ⋅ ^M_j⁄_d² ê_j

dove G è la costante di gravitazione universale e e_j sono i versori con direzioni dei segmenti che congiungono il centro del triangolo equilatero alle masse M_j con verso negativo verso quest’ultime. Il campo totale è la somma dei tre e dunque:

g = ^G⁄_d² ⋅ ³_j=1∑ M_jê_j

Occorre trovare un’espressione per i versori ê_j.

Versori e sistema di riferimento

Se fissiamo M₁ nell'angolo in basso a sinistra, M₂ in quello in basso a destra e M₃ in alto e fissiamo un sistema di riferimento cartesiano con origine il centro del triangolo e asse x parallelo al lato che contiene M₁ e M₂, con verso da M₁ a M₂, abbiamo che:

ê₁ = (−cos 30°, −sin 30°)

ê₂ = (cos 30°, −sin 30°)

ê₃ = (0, 1)

Dunque il campo totale diventa:

g̅ = _G/^d2 ((M₂ − M₁)cos 30°, M₃ − (M₁ + M₂)sin 30°)

da cui, sostituendo i dati forniti dal testo, tra cui:

G = 6.67 · 10^{−11 m3}/_{kg · s²}

si ottiene il vettore:

g̅ = 6.67 · 10^{−11 m3}/_{kg · s²} (0.866, 1.5)/(0.115 m)²

g̅ = (4.37, 7.57) · 10^{−8 m}/_{kg · s²}

Il modulo del campo gravitazionale generato è:

g = |g̅| = √4.37² + 7.57² · 10^{−8 m}/_{kg · s²}