Calcolo numerico - esercizi

Operazioni tra numeri binari

Somma

• 0 + 0 = 0
• 1 + 0 = 1
• 0 + 1 = 1
• 1 + 1 = 0 con riporto di 1 alla colonna a sx

Sottrazione

• 0 - 0 = 0
• 1 - 0 = 1
• 0 - 1 = 1 dopo essersi prestato 1 dalla colonna a sx
• 1 - 1 = 0

Moltiplicazione

• 0 x 0 = 0
• 1 x 0 = 0
• 0 x 1 = 0
• 1 x 1 = 1

Divisione

• 3ª) Prendo un n. di cifre = al divisore
• 2ª) Lo elimino se inferiore o uguale
• 3ª) Multiplo di divisore con il numero scelto di dividendo
• 4º) Eseguo la sottrazione
• 5ª) Porto giù la cifra alta
• 6ª) Se il numero ottenuto è >= al divisore scrivo 0 o eseguo il divisore scrivo 0
• 7ª) Si esegue la moltiplicazione col nuovo numero scelto nel dividendo
• 8ª) Sottraggo di nuovo e così via.

Operazioni tra numeri binari con esempi

Somma

• 0 + 0 = 0
• 0 + 1 = 1
• 1 + 0 = 1
• 1 + 1 = 0 con riporto di 1 alla colonna a sx

(10₁₀₀)₂ + (111₁)₂

Sottrazione

• 0 - 0 = 0
• 1 - 0 = 1
• 0 - 1 = 1 dopo essersi prestato 1 dalla colonna a sx
• 1 - 1 = 0

(100₁₀)₂ - (110₁)₂

Moltiplicazione

• 0 x 0 = 0
• 1 x 0 = 0
• 0 x 1 = 0
• 1 x 1 = 1

(110)₂ x (10₁)₂

Divisione

Divisione binaria:

(100₁₀)₂ : (10₁)₂

(100₁)₂ = conv. ad 10₁

• Si prende un n. di cifre x il divisore
• Lo si prova nel dividendo e sempre 2
• Moltiplo di divisore e il numero scelto si dividendo
• Si esegue la sottr.
• Porta giù le cifre utili
• Se il numero ottenuto è 2 al divisore scrivo il divisore
• Si esegue la moltiplicazione col nuovo numero scelto nel dividendo
• Sottraggo di nuovo e così via

(100)₂ con resto di 10

Esercizio 1.1

Esercizio 1.1(a) β=10 t=12 Calcolare la pressione di macchina

x=0,d₁...d_t 10^e

conosciuto^{|x - x₁|}/_|x| < eps β^-t bound β^-(t-1)/₂ ulp bound

Caso di bancarotta

• Nel caso di bancarotta (l’errore massimo possibile avviene se):
• 0.d₁d₂..._t β^e
• 0.0...0.0...β3β9 < 0.0...0.1... < 0.0...0.0β3β9
• = 0.0...0.1_t
• = 10¹²/_10¹¹ = 10^-1 β^βt con N_guard possibile : D il piccolo possibile

Caso degli smarrimenti

• Caso degli smarrimenti:
• 0.d₁d₂..._t β^e
• 0.0...0.2...0.9 < 0.0...0.5...0 < 5·10^-12 - 5·10^-12 = β^-(t-1)/₂
• Q₁= 0.d₁d₂..._tβ = 1 _t-1

Dimostrazione teorema restativo di traduzione

(b) Dimostrazione Teorema restativo di traduzione

|x - x₁| = |0,d₁d₂ | =0.dd...d_t 0.d₁d_t pt = 0.d₁d_tβ^-t_-t = β^t

Supponiamo de _{t max} Allora ^-1 φ1_ddd <β_dt ℇ

Allora^{|x - x|}/_|x| <= 0.dd_φ1 φβpt β ≤ 1≥ β^-t = 1

Rappresentazione in base 2 seguendo la misura

Rappresentazione in Base 2 seguendo la misura

-1025₁₂/4/10.0₂

0.1000...0.1

(-1025)₁₂ = (-100000000042)₂

- 276,5

Abbiamo una parte decimale allora lo moltiplichiamo x 2 tante volte necessarie al fine di ottenere un numero intero

- 276,5:2 = 553

(-553)₁₀ = (1001010001)₂

dividiamo per 2

- 276,5 = 100010100,10,2

Essendo < 1 si applica il metodo delle moltiplicazioni successive (si procede fino quando non manca zero)

• 0,2:2 = 0,4 d₂ = 0
• 0,4:2 = 0,8 d₂ = 0
• 0,8:2 = 1,6 d₃ = 1
• 0,6:2 = 1,2 d₄ = 1
• 0,2:2 = 0,4 d₅ = 0
• 04:2 = 08 d₆ = 0
• 08:2 = 16 1
• 06:2 = 12 1
• 02:2 = 04 0
• 08 0
• 16 1: 0

Usiamo il metodo generale

• |X| = 12.325

INT(X) = 12, |X| - INT(X) = 0.325

• 12
• 0 | 6 | 2
• 0 | 3 | 2
• 0 | 1 | 2
• (12)₁₀ = (1100)₂
• 0.325 * 2 = 0.65 d₀ = 0
• 0.975 * 2 = 1.5 d₁ = 1
• 0.65 * 2 = 1.3
• 0.5 *