Automorfismo con parametro

Automorfismo con parametro

Automorfismo con parametro

7) Si consideri, al variare del parametro k ∈ ℝ, l'endomorfismo f_k di ℝ³ definito da f_k(x, y, z) = (3x + kz, -x + 2y + 2z, kx + 3z).

Stabilire per quali valori di k l'endomorfismo f_k è un automorfismo e per quali valori di k, f_k è semplice.

Sia A_k la matrice associata all'endomorfismo f_k.

A_k = ⟨-1 2 0-k 0 3⟩

f_k è un automorfismo se e solo se rg A_k = 3, ossia se e solo se det A_k ≠ 0. Ora det A_k = 2(9 - k²) ≠ 0 ↔ k ≠ ±3.

Calcoliamo ora il polinomio caratteristico di A_k:

det (A_k - λI) = ⟨-1 2 -λ-k 0 3-λ⟩ = (2 - λ)(3 - λ; k) (3 - λ + k)

Abbiamo così gli autovalori: λ₁ = 2, λ₂ = 3 - k e λ₃ = 3 + k, da cui:

• λ₁ ↔ λ₂ ↔ k = 1
• λ₁ ↔ λ₃ ↔ k = -1
• λ₂ ↔ λ₃ ↔ k = 0

Possiamo allora affermare che per k ≠ ±1, 0 si hanno 3 autovalori distinti e quindi f_k è semplice.

Consideriamo ora i casi particolari:

i) Sia k = 1. In questo caso l'autovalore λ₁ = λ₂ = 2 ha molteplicità algebrica m_a(2) = 2, dobbiamo allora determinare la sua molteplicità geometrica m_g(2), ossia la dimensione dell'autospazio.

V(2) = {⃗v ∈ ℝ³ | (A₂ - λI) ⃗v = ⃗0}

⃗v(x, y, z) ∈ V(2) ↔ x + z = 0
-x + 2z = 0

Da cui segue V(2) = L({(0,1,0)}) e quindi dim V(2) = 1. Per k = 1 si ha quindi che m_g(2) = 1 ≠ m_a(2) ed f₁ non è semplice.