Applicazioni lineari 1

Name: Applicazioni lineari 1
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Author: AlessioBuc99

Revisionato il 08/07/2026

di AlessioBuc99

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Esercizi di algebra e geometria lineare sulle applicazioni lineari elaborati dal publisher sulla base di appunti personali e frequenza delle lezioni del professore Iannuzzi, …

Esame Geometria e algebra lineare

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Iannuzzi Andrea

Università Università degli Studi di Roma Tor Vergata

A.A. 2021-2022

46 pagine

Esercitazione

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Estratto del documento

Verificare la non linearità del determinante di una somma

Dimostrazione nel caso di matrici 2x2

Verifichiamo che il determinante di una somma non è lineare. Quindi: T(A) ≠ det(A). Consideriamo due matrici A e B appartenenti a ℝ²x². Se proviamo che non T(A) + T(B) ≠ T(A+B) per ogni A, C ∈ N⁺¹(K).

Se A = _{(a₁₁ a₁₂)}^{(a₂₁ a₂₂)} e B = _{(b₁₁ b₁₂)}^{(b₂₁ b₂₂)}, allora:

det(A) = T(A) = a₁₁a₂₂ - a₁₂a₂₁

det(B) = T(B) = b₁₁b₂₂ - b₁₂b₂₁

Calcoliamo il determinante di (A+B):

det(A+B) = T(A+B) = det(_{(a₁₁+ b₁₁ a₁₂ + b₁₂)}^{(a₂₁ + b₂₁ a₂₂ + b₂₂)}) = (a₁₁+ b₁₁)(a₂₂+ b₂₂) - (a₁₂+ b₁₂)(a₂₁+ b₂₁)

Quindi non è lineare, poiché T(A+B) ≠ T(A) + T(B) = a₁₁a₂₂ - a₁₂a₂₁ + b₁₁b₂₂ - b₁₂b₂₁.

Studio della non linearità in altri contesti

Verifichiamo che il determinante di una somma non è lineare. Consideriamo:

Se fosse lineare, (A) + (B) = (A + B) per ogni A, B ∈ ℝ₂.

Se A = (_{a₁₁ a₁₂}^{a₂₁ a₂₂}) e B = (_{b₁₁ b₁₂}^{b₂₁ b₂₂}), allora:

det(A) = T(A) = a₁₁a₂₂ - a₁₂a₂₁

det(B) = T(B) = b₁₁b₂₂ - b₁₂b₂₁

det(A + B) = T(A+B) = _{(a₁₁+ b₁₁ a₁₂+ b₁₂)}^{(a₂₁+ b₂₁ a₂₂+ b₂₂)} = (a₁₁+ b₁₁)(a₂₂+ b₂₂) - (a₁₂+ b₁₂)(a₂₁+ b₂₁)

Quindi non è lineare, poiché T(A+B) ≠ T(A) + T(B) = a₁₁a₂₂ - a₁₂a₂₁ + b₁₁b₂₂ - b₁₂b₂₁.

Studio della linearità di altre funzioni

Funzione T: ℝ² → ℝ²

Consideriamo la funzione T:ℝ² → ℝ² tale che:

T(1,2) = (3,0)
T(2,7) = (4,5)
T(1,5) = (1,4)

Se esistesse una linearità:

T(1,2) + T(2,7) = T(1+2, 2+7) = T(3,9)

T(1,2) + T(1,5) = T(2,2)

T(1,2) - T(1,5) = (3,0) * (1,4) = (4,4)

Dal momento che T(2,7) ≠ (4,4), non è lineare.

Funzione T: ℝ² → ℝ²

T(1,2) = (3,0)
T(2,4) = (5,0)
T(0,1) = (1,1)

Verifica della linearità:

2 T(1,2) = T(2,4)

T(6,0) = 2 (3,0) = (6,0)

Quindi questo non è lineare.

Definizione della funzione T: ℝ² → ℝ²

Tale che T(1,1) = (1,2) e T(0,2) = (3,4). Calcoliamo per un generico (x,y):

T(x,y) = x T(1,1) + y/2 T(0,2) = (x, 2x) + (2y - 2x, 2y - x) = (2y - x, 2y)

Verifica della linearità

T: ℝ²→ℝ³ definito da (x, y) → (x + y, 2x, x - y).

Verifica la linearità:
Ker(T) e Im(T)
A iniettiva e/o suriettiva
T(I, L) con B.L. e un A

Se u₁ = (x₁, y), v₂ = (x₂, y₂), T è lineare se T(u₁ + u₂) = T(u₁) e T(u₂).

T(u₁ + u₂) = T(x₁ + x₂, y₁ + y₂) = (x₁ + x₂ + y₁ + y₂, 2x₁ + 2x₂, x₁ + x₂ - y₁ - y₂)

T(u₁) = (x₁ + y₁, 2x₁, x₁ - y₁)

T(u₂) = (x₂ + y₂, 2x₂, x₂ - y₂)

T(u₁) + T(u₂) = (x₁ + y₁ + x₂ + y₂, 2x₁ + 2x₂, x₁ + x₂ - y₁ - y₂) = T(u₁ + u₂) (ok)

λ T(u₁) = λ T(λu₁)

T(λu₁) = T(λx₁, λy₁) = (λx₁ + λy₁, 2λx₁, λx₁ - λy₁)

λT(u₁) = λ(x₁ + y₁, 2x₁, x₁ - y₁)

Quindi è lineare.

Ker(T) := {x ∈ ℝ² | T(x) = 0} = {(x,y) ∈ ℝ² : (x+y, 2x-y) = (0,0)} ⇒ {x+y=0, x-y=0}

Ker(T) = {(0,0)} → lin

Im(T) := {W ∈ ℝ² | ∃x ∈ ℝ²: T(x) = W} ⇒ lin{(1,2,1),(1,0,0)}

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