Appelli fondamenti di analisi matematica 2

Fondamenti di analisi matematica 2 - Vicenza, 5 febbraio 2019

Tema 1

1. Si consideri la curva piana con:

x(t) = t²

y(t) = t + 2 per t ∈ [0, 1].

L’integrale R è uguale a:

• a) 2(t + 2)√(1 + 4t²) dt
• b) 2(t + 2)²t dt
• c) 2(t + 2) dt
• d) 2(t + 2)√(1 + 2t²) dt

2. Siano f, g ∈ C¹(R²). Supponiamo che Z = {(x, y) | g(x, y) = 5} sia limitato e che per ogni P ∈ Z, rg(P) = (0, 0). Allora necessariamente si ha:

• a) f ammette punti critici in Z e tra questi si trovano i punti di massimo e minimo di f su Z.
• b) Le ipotesi non sono sufficienti a dire se f ammette massimo e minimo su Z.
• c) Esistono sicuramente dei punti critici di L(x, y, λ) = f(x, y) - λg(x, y).
• d) Tutte le precedenti risposte sono errate.

1. Definire le equazioni differenziali del primo ordine, a variabili separabili, e descrivere il metodo risolutivo.

2. Definizione di rotore di campo vettoriale, dimostrare che se un campo è conservativo allora è anche irrotazionale.

Tema 2

1. Per ogni valore del parametro R, si consideri la seguente equazione differenziale:

y'(t) + 4y(t) + 4ty(x) = e⁰

a) Determinare le soluzioni dell’equazione omogenea associata per ogni valore del parametro R.

b) Determinare le soluzioni dell’equazione completa con il termine costante 2.

c) Determinare le soluzioni dell’equazione completa con il termine costante 42.

2. Si consideri la funzione f(x, y) = 2 log [(x + 3)(y - 1)] + x²y².

a) Determinare il dominio D_f e disegnarlo nel piano cartesiano.

b) Dire se D_f è aperto, chiuso, né chiuso né aperto.

c) Calcolare le derivate parziali di f, quando possibile, e i suoi punti critici.

d) Determinare la natura dei punti critici.

3. Data la superficie definita da:

x = u²

y = u²v

z = v dove D = {(u, v) | |u| + |v| ≤ 5}.

a) Dimostrare che essa è regolare e calcolare un vettore normale al sostegno di D.

b) Calcolare l’integrale superficiale ∫ |x| dS.

Tempo: 110 minuti. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.

Secondo tema

1. Si consideri la curva piana con:

x(t) = t³ + 1

y(t) = t² per t ∈ [0, 1].

L’integrale è uguale a:

• a) 3(t + 1) dt
• b) 3(t + 1)³t dt
• c) 3(t + 1)²(9t² + 4t) dt
• d) 3(t + 1)²(3t + 2t) dt

2. Siano f, g ∈ C¹(R²). Supponiamo che Z = {(x, y) | g(x, y) = 0} sia limitato e che per ogni P ∈ Z, rg(P) = (0, 0). Allora necessariamente si ha:

• a) Se f(P) = 0 per ogni P ∈ Z, allora Z non ammette massimo e minimo su Z.
• b) Se Z è un insieme limitato, allora esistono sicuramente dei punti critici di f su Z.