Appelli d'esame svolti analisi 2

Name: Appelli d'esame svolti analisi 2
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Author: 91fra

Revisionato il 04/09/2026

di 91fra

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Appunti di Analisi matematica 2 che sono basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni dell’università degli Studi della Calabria - Unical, della facoltà di …

Esame Analisi matematica 2

Facoltà Ingegneria

Università Università della Calabria

A.A. 2016-2017

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Appello 17-09-121

1. Funzione vincolata

f(x,y)=4x(x²-4y²)-3x²+4y²

Vincolati a: x²-4y²=¹⁄₄ → Equazione di un'iperbole.

4y²-x²-¹⁄₄ poiché 4y²≥x allora x²-¹⁄₄≥0 verificata per x≤¹⁄₂ o x≥¹⁄₂.

g(x)=-2x²+x-¹⁄₄ x∈(-∞,-¹⁄₂]∪[¹⁄₂,+∞)

Vertice P (¹⁄₄,-¹⁄₈)

x=¹⁄₂ → massimo assoluto.

x=-¹⁄₂ → massimo relativo.

f è una funzione illimitata, dunque non ammette minimo assoluto.

2. Equazione di Eulero

{2x²y"^(x)-8xy'^(x)+12y(x)=x y(1)=¹⁄₄ y'⁽¹⁾=¹⁄₄}

Equazione di Eulero

x=e^t y(x)=y(e^t)=y(t), t=t(x)=log_ex

y'^(x)=y'^(t). ¹⁄_x

y"^(x)=y"'^(t).t'^(x). ¹⁄_x-y'^(t). ¹⁄_x²=y"'^(t). ¹⁄_x²-y'^(t). ¹⁄_x²

2y"^(t)-10y'^(t)+12y(t)=e^t

2y"^(t)-10y'^(t)+12y(t)=0

λ²-5λ+6=0 → λ₁=2 λ₂=3

y(t)=ξe^2t+ψe^3t α, ξ∈R

Appello 17-09-121

1. Funzione vincolata

\( f(x,y) = 4x(x^2-4y^2) - 3x^2 + 4y^2 \)

Vincolati a: \( x^2 - 4y^2 = \frac{1}{4} \quad \rightarrow \) Equazione di un'iperbole.

\( 4y^2 - x^2 - \frac{1}{4} \) poiché \( 4y^2 \geq 0 \) allora \( x^2 - \frac{1}{4} \geq 0 \) verificata per \( x \leq -\frac{1}{2} \) o \( x \geq \frac{1}{2} \).

\( g(x) = -2x^2 + x - \frac{1}{4} \quad x \in (-\infty, -\frac{1}{2}] \cup [\frac{1}{2}, +\infty) \)

Vertice \( P(\frac{1}{4}, -\frac{1}{8}) \)

\( x = \frac{1}{2} \rightarrow \) massimo assoluto.

\( x = -\frac{1}{2} \rightarrow \) massimo relativo.

\( f \) è una funzione illimitata, dunque non ammette minimo assoluto.

2. Equazione di Eulero

\[\begin{cases} 2x^2y''(x) - 8xy'(x) + 12y(x) = x \\y(1) = \frac{1}{4} \\y'(1) = \frac{1}{4} \end{cases}\] Equazione di Eulero

\( x = e^t \quad y(x) = y(e^t) = y(t) , \quad t = t(x) = \log x \)

\( y'(x) = y'(t) \cdot \frac{1}{x} \)

\( y''(x) = y''(t) \cdot t'(x) \cdot \frac{1}{x} - y'(t) \cdot \frac{1}{x^2} = y''(t) \cdot \frac{1}{x^2} - y'(t) \cdot \frac{1}{x^2} \)

\( 2y''(t) - 10y'(t) + 12y(t) = e^t \)

\( 2y''(t) - 10y'(t) + 12y(t) = 0 \)

\( \lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0 \quad \rightarrow \quad \lambda_1 = 2 \), \( \lambda_2 = 3 \)

\( y(t) = c_1e^{2t} + c_2e^{3t} \quad c_1, c_2 \in \mathbb{R} \)

y(t) = Ae^t A ∈ ℝ

y₀¹(t) = y₀¹(t) = Ae^t ⇒ A = ¹/₄

y₀(t) = ¹/₄e^t

y = c₁e^2t + c₂e^3t + ¹/₄e^t c₁, c₂ ∈ ℝ

y = c₁x² + c₂x³ + ¹/₄x c₁, c₂ ∈ ℝ

¹/₄ = c₁ + c₂ + ¹/₄

¹/₄ = 2c₁ + 3c₂ + ¹/₄

c₁ = 0

c₂ = 0

Dunque: y = ¹/₄x

4. Teorema della divergenza

Dato: F(x,y,z) = (x², 4y², z²) ed il solido: Ω = {(x,y,z) ∈ ℝ³: x² + 4y² ≤ 2x, 0 ≤ z ≤ 1}

Calcolare il flusso uscente dalla superficie, utilizzando il teorema della divergenza:

Ω = {(x,y,z) ∈ ℝ³ : (x-x₁)² + 4y² ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1}

^F(^F, δΩ) = ^_δΩ∬^F⋅ndS = ^Ω∭div^F dxdydz

div ^F(x,y,z) = 2x + 8y + 2z

^F(^F, δΩ) = ^Ω∭ (2x+8y+2z) dxdydz == ^D∬ (¹∫₀ (2x+8y+2z) dz) dxdy = ^D∬ [2xz + 8yz + z²] ¹₀ == ^D∬ (2x+8y+1) dxdy _D

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