Analisi probabilistica e teoria delle code - prova settembre 2008

Analisi probabilistica e teoria delle code

(a.a. 2007-08 - docente P. Legato)

Prova scritta d'esame del 03-09-2008

Esercizio n° 1

Un componente elettronico (A) non riparabile è caratterizzato da un tasso di guasto che sta crescendo linearmente col tempo, secondo un coefficiente pari a 2 u.t.^-2. Si chiede di:

1. Ricavare la funzione di distribuzione della variabile aleatoria “tempo al guasto di A”;
2. Calcolare la probabilità che A si guasti entro 3 u.t., sapendo che all’istante 2 è ancora funzionante.

Un secondo componente elettronico (C1) non riparabile è caratterizzato da un tempo medio al guasto (MTTF) pari a 2 u.t..

3. Scrivere la formula dell’affidabilità per C1;
4. Calcolare la probabilità che C1 si guasti entro 4 u.t., sapendo che all’istante 2 è ancora funzionante.

Adesso si consideri un terzo componente elettronico (C2) identico al componente C1, che si vuole aggiungere a quest’ultimo.

5. Per i due componenti C1 e C2 organizzati in serie, scrivere l’espressione analitica della curva di affidabilità del sistema risultante e calcolare il rischio di guasto del sistema all’istante iniziale.

Componenti in parallelo

Per i due componenti C1 e C2 organizzati in parallelo:

6. a. Scrivere l’espressione analitica della curva di affidabilità e calcolare la probabilità che il sistema sopravviva per almeno 2 u.t..

7. b. Ricavare la distribuzione del “tempo al primo guasto” e calcolare la probabilità che nessun guasto si verifichi entro le prime 2 u.t..

Si chiede ora, ponendo C2 in riserva a C1 e con l’ipotesi di commutazione perfetta:

7. Calcolare la probabilità che il sistema sopravviva per almeno 2 u.t..

Ipotizzando ora che la commutazione C1-C2 riesca con probabilità 0.8, si chiede di calcolare la probabilità che siano necessari più di 3 tentativi per attivare la riserva;

8. 1