Analisi matematica II - Esercizi

Matematica III. Esercizi assegnati il 12/12/07

Marco Pedroni

(1) Calcolare l’area del dominio

Calcolare, mediante il teorema di Gauss–Green, l’area del dominio T avente per frontiera la curva chiusa γ di equazioni parametriche:

( 2x = (1 − t) t
γ : t ∈ [0, 1]
y = (1 − t)t

(2) Calcolare l’area del dominio

Calcolare l’area del dominio che ha come frontiera la curva γ = γ₁ ∪ γ₂ ∪ γ₃, dove γ₁ = {(x, y) ∈ R | x + y − x = 0, y ≥ 0}, la curva γ₂ ha equazione in coordinate polari ρ = e^θ, con θ ∈ [0, π/2], ed infine γ₃ è il segmento congiungente l’origine con il punto (0, e^π/2).

(3) Usando il teorema di Gauss–Green

Usando il teorema di Gauss–Green, calcolare l’integrale doppio 3 RR y dx dy, dove T è il dominio di frontiera ∂T = σ₀ ∪ σ₁ ∪ σ₂, con:

(½ 3x = t − sin t
x = 2π cos t
π
σ₀ : t ∈ [0, 2π], σ₁ : t ∈ [0, ]
y = cos t − 1
3 2
y = 2π sin t

Mentre σ₂ è il segmento congiungente l’origine con il punto (0, 2π).

(4) Si calcoli

Si calcoli ZZ 2x dx dy D 2 2 2 dove D = {(x, y) ∈ R | 1 ≤ x + y ≤ 2}, utilizzando il teorema di Gauss–Green.

(5) Dato il campo vettoriale F

Dato il campo vettoriale F = (x cos y sin x + cos y cos x)i − (x sin x cos y)j, calcolare il flusso di F uscente dal triangolo di vertici O = (0, 0), A = (1, 0) e B = (2/3, 2/3).

(6) Sia S la porzione dell’iperboloide

Sia S la porzione dell’iperboloide ad una falda di equazioni parametriche:

 x = cosh u cos v  −1 −1
 u ∈ [− sinh 1, sinh 2]
y = cosh u sin v π π
 v ∈ [− , ]
 z = sinh u 2 2

Si calcoli il flusso del vettore F = xi + yj + zk che attraversa S nel verso delle x crescenti.

(7) Dato il campo F

Dato il campo F = yi+zj+xk, calcolare il flusso del rotore di F attraverso la porzione di paraboloide 3 2 2 S = {(x, y, z) ∈ R | z = 1 − x − y, z ≥ 0} sia in base alla definizione, sia usando il teorema di Stokes.

(8) Dato il campo F

Dato il campo F = x³i + y³j + z³k definito nel dominio E = {(x, y, z) ∈ R | x² + y² ≤ 1, z ∈ [0, 1]}, calcolare il flusso di F uscente dalla frontiera di E sia in base alla definzione, sia usando il teorema della divergenza.

(9) Applicando il teorema di Stokes

Applicando il teorema di Stokes, calcolare l’integrale Z 2y dx + xy dy + xz dz γ 2 2 ove γ è l’ellisse intersezione tra la superficie cilindrica di equazione x + y = 2x e il piano z = y. Il risultato dipende dall’orientazione di γ?

(10) Dato il campo vettoriale F

Dato il campo vettoriale F = xi + 2yj − 3zk, calcolare 2 2 (a) la circuitazione lungo la linea intersezione delle