Analisi Matematica 2 Testi d'esame

1. Data la funzione di due variabili

\( f(x,y) = \sqrt[3]{xy}^2 \)

• Determinare l’insieme di definizione e rappresentarlo graficamente.
• Stabilire se è continua nell'origine.
• Stabilire se è differenziabile nell'origine, giustificando ogni affermazione.

2. Solido di rotazione

In un riferimento cartesiano \(Oxyz\) di \(\mathbb{R}^3\) sia \(T\) il solido ottenuto per rotazione attorno all’asse \(x\) dell’insieme \(E\) del piano x-y dato da: \(E\left((x,y)\right)\frac{1}{2} \leq x \leq 2,\ 0 \leq y \leq e^{-|x-1|}.\)

Si determini il volume di \(T\).

3. Forma differenziale

Trovare l’insieme di definizione \(A\) della forma: \(\omega = \left(\sin y + \frac{y-1}{\sqrt{x+1}}\right)dx + \left(x \cos y + 2\sqrt{x+1} \right)dy\) e dimostrare che \(\omega\) è esatta in \(A\).

Trovare la primitiva \(F(x,y)\) tale che \(F(0,2) = 3\).

4. Insieme di definizione e derivata

Determinare e disegnare l’insieme di definizione della seguente funzione: \(f(x,y) = \log_{\sqrt{x+1}} \left(1-\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{16}\right)\)

Calcolare poi la derivata secondo la direzione dell’asse delle \(y\) nel punto \(P(1,0)\).

2. Serie di potenze

Sia data la serie di potenze: \(\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)^{1-t} (a_k) y^k x^t,\) dove i coefficienti \(a_k\) sono dati dalla relazione: \(e^x = \sum_{k=0}^{\infty} a_k \frac{3(k+1)^3}{(k+2)k!} x^k.\)

Posto \(j=0\), calcolare raggio di convergenza e insieme di convergenza puntuale.

Posto \(j=1\), calcolare solamente il raggio di convergenza.

3. Problema di Cauchy

Risolvere il seguente problema di Cauchy: \(\begin{cases} y'' + 4y' + 5y = 2e^{-x} \\ y(0)=1; \ y'(0) = - \frac{42}{e} \end{cases}\)

Determinare poi i valori di \(\lambda\) per cui risulti \(y\left(\frac{\pi}{2}\right) = e^{-x} \).

1) Data la funzione di due variabili

\(f(x,y) = \sqrt[3]{(xy)}^2\)

• Determinare l’insieme di definizione e rappresentarlo graficamente.
• Stabilire se è continua nell’origine.
• Stabilire se è differenziabile nell’origine, giustificando ogni affermazione.

2) Solido di rotazione

In un riferimento cartesiano \(Oxyz\) di ℝ³ sia \(T\) il solido ottenuto per rotazione attorno all’asse \(x\) dell’insieme \(E\) del piano x-y dato da: \(E⎨(x,y)⏐\frac{1}{2} \le; x \le; 2, 0 \le; y \le; e^{−|x−1|}⎬.\)

Si determini il volume di \(T\).

3) Forma differenziale

Trovare l’insieme di definizione \(A\) della forma: \(\omega = (\sin y + \frac{y−1}{\sqrt{x+1}}) dx + (x \cos y + 2\sqrt{x+1})dy\) e dimostrare che \(\omega\) è esatta in \(A\).

Trovare la primitiva \(F(x,y)\) tale che \(F(0,2) = 3\).

4) Insieme di definizione e derivata

Determinare e disegnare l’insieme di definizione della seguente funzione: \(f(x, y) = \log_{\sqrt{x+1}} \left(1− \frac{x^2}{4} − \frac{y^2}{16}\right)\)

Calcolare poi la derivata secondo la direzione dell’asse delle \(y\) nel punto \(P(1,0)\).

5) Serie di potenze

Sia data la serie di potenze: \(\sum_{k=0}^{\infin} (k+1)^{(−1)^{k+1}}(a_k) x^k,\) dove i coefficienti \(a_k\) sono dati dalla relazione: \(e^x = \sum_{k=0}^{\infin} a_k \frac{3(k+1)^3}{(k+2)k!} x^k.\)

Posto \(j = 0\), calcolare raggio di convergenza e insieme di convergenza puntuale.

Posto \(j = 1\), calcolare solamente il raggio di convergenza.

6) Problema di Cauchy

\(\{ y'' + 4y' + 5y = 2e^{-x}y(0) = 1; y'(0) = -42 \}\)

Determinare poi i valori di \(\lambda\) per cui risulti \(y(\pi/2) = e^{-x}\).

Massimo e minimo assoluti

Determinare massimo e minimo assoluti della seguente funzione motivando il perché dell’esistenza: \(f(x,y)=x^2+y^2-2x-2y-3\) nel dominio \(D\) del piano x-y dato da: \(D(x,y)\isin;ℝ²|x^2+y^2\le;4|\)

Integrale doppio

Calcolare il seguente integrale doppio: \(\int_T ye^x \sqrt{x^2+y^2} dxdy\) dove \(T\) è il dominio dato da: \(1\le;x^2+y^2\le;4\) con \(y\ge;x\ge;0 \cup 1\le;x^2+y^2\le;4\) con \(y\ge;-\sqrt{3}x\) e \(x\le;0.\)

Serie e studio

Risolvere \(\forall;x 0\}E2.\sum_{k=1} (x-3)^k / (3^k -1)^2\)

Studiarla \(\forall; x \isin; ℝ\)

D1. Derivate parziali

Definire derivate parziali prime, seconde, eterazionali per un punto.

D2. Wronskiano e teorema di Liouville

Definizione di Wronskiano. Teorema di Liouville per catena di derivazione \(n=2\).

Appello del 4-6-2013

E1. Integrale su dominio

\(\int_D |y| / (x-2) dxdy\) con \(D: \{(x,y) \isin; ℝ² , 0 \le; (x-2)^{1/2} + y^2 \le; x , \sqrt{3} (2-x) \le; y \le; x-2\}\)

E2. Equazione differenziale

\(y'' - 4\lambda y' + 4\lambda^2y = 2e^{-x} \forall; \lambda \isin; ℝ\)

D1. Serie di funzioni

Serie di funzioni. Serie di potenze. Def. e dimostrazione convergenza serie di potenze per \(|x-x_0| \le; 1, x-x_0|\) teorema stiel.

D2. Forme differenziali

Def. forme diff. lineari basi chiuse