Analisi Matematica 12 CFU - Esercizi Svolti

Revisionato il 09/09/2026

di leonardo.cordisco.3

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Esercizi svolti validi per qualsiasi corso di laurea.Nel dettaglio tratta: continuità e differenziabilità di una funzione a più variabili e calcolo del differenziale, …

Esame Analisi matematica

Facoltà Ingegneria i

Dal corso del Prof. Biancardi Marta

Università Politecnico di Bari

A.A. 2017-2018

62 pagine

Esercitazione

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Continuità e differenziabilità di una funzione a più variabili e calcolo del differenziale

f_f(x,y) = ^|x²+y²| è continua in (0,0) ma non è differenziabile.

È continua quando

^lim_{(x,y)→(x₀,y₀)} f(x,y) = g(x,y) ∈ R²

(x,y)→(0,0) x²+y² = 0

f(x,y) è continua in (0,0).

g(0,0) = 0

È differenziabile quando

^lim_{(x,y)→(x₀,y₀)} |f(_x+_x₀,_y+_y₀)-f(_x₀,y₀)-f_{x_0}(_x,_y₀)(x-x₀)-f_{_y₀}(x₀,_y₀)(y-y₀)| = 0^{√(x-x₀)²+(y-y₀)²}

f_x(x,y) = ^x/_√x²+y² → f_x(0,0) = ⁰/₀

f_y(x,y) = ^y/_√x²+y² → f_y(0,0) = ⁰/₀

Ellisse: ^lim_{(x₃,y₃→(0,0)} ^√x²+y²/_√x²+y² = 1

Quando f(x,y) non è differe. in (0,0)

Metodo alternativo

^lim_t→0 ^f(t+x₀,0)-^f(x₀,0)/_t-x₀, ^lim_t→0 ^{f(0,t+y₀)-f(0,y₀)}/_t-y₀

^lim_t→0 ≠ 1

Quando non è differenziabile in (0,0)

Continuità e differenziabilità

β(x,y) = √(x² + y²)

È continua in (0,0) ma non è differenziabile.

È continua quando

lim_{(x,y) ➜ (x₀, y₀)} f(x,y) = g(x,y) ∈ ℝ²

lim_{(x,y) ➜ (0,0)} √(x² + y²) = 0

g(0,0) = 0

È differenziabile quando

lim_{(x,y) ➜ (x₀, y₀)} |f(x + x₀; y + y₀) - β(x₀, y₀) - f_x(x₀, y₀)(x - x₀) - f_y(x₀, y₀)(y-y₀)| / ((x-x₀)² + (y-y₀)²)^1/2 = 0

f_x(x,y) = x / √(x² + y²) ➜ f_x(0,0) = 0/0

f_y(x,y) = y / √(x² + y²) ➜ f_y(0,0) = 0/0

Allora: lim_{(x,y) ➜ (0,0)} [√(x² + y²) - 0] / [x² + y²] = 1

Quindi f(x,y) non è diff. in (0,0)

Metodo alternativo

lim_{t ➜ 0} [f(t + x₀, 0) - f(x₀, 0)] / (t - x₀), lim_{t ➜ 0} [f(0, t + y₀) - f(0, y₀)] / (t - y₀)

lim_{t ➜ 0} k₁ ≠ 1

lim_{t ➜ 0} k₂ ≠ 1

Quindi non è differenziabile in (0,0)

Differenziabile & differenziale

f(x, y) = x² + x(y - 1) + 2y con (x, y) ≠ (0, 0)

= 0 con (x, y) = (0, 0)

lim_{(x, y) → (x₀, y₀)} [f(x + x₀, y + y₀) - f(x₀, y₀)] - f_x(x₀, y₀)(x - x₀)- f_y(x₀, y₀)(y - y₀)[√(x-x₀)² + (y-y₀)²]

Calcolo

f_x(x, y) = 2x + |y| - 1 → f_x(0, 0) = -1

f_y(x, y) = x ⁄ |y| + 2 → f_y(0, 0) = 2

lim_{(x, y) → (0, 0)} x² + x(y - 1) + 2y = 0 + x - 2y[√x² + y²] = 0

Elaboro ponço x = y

lim_x→0 x² + x((x) - 1) + x = x²/x² + x(x - 1) + x]/[√2x²] = x + |x| - x |- 1/√2

Método alternativo

lim_{t → 0} [f(t + x₀, 0) - f(x₀, 0)- f_x(x₀, 0)(t - x₀) + tf|x| - 0 + tž][t - x₀] = 0

lim_{t → 0} [f(0, t + y₀) - f(0, y₀)- f_y(0, y₀)(t - y₀) = 2f - 2/[t ⁄ /t] = 0

Differenziale

dz = f_x (x₀, y₀)dx + f_y(x₀, y₀)dy

dz = -dx + 2dy

Continuità e differenziabilità

Es. 1

f(x,y) = ^y³/_{x² + x⁴} con (x,y) ≠ (0,0)

0 con (x,y) = (0,0)

Proviamo a considerare alcune particolari direzioni d

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