Analisi Matematica 1 - Esercizi

Correzione del compito di esame di analisi matematica I del 17 novembre 2001

Esercizio 1

Date le funzioni f₁(x) = e^−8x2 − cos(4x) e f₂(x) = log(cosh x) si chiede di:

1. Determinare gli sviluppi di McLaurin di f₁(x) e di f₂(x) per x → 0 arrestati al quarto ordine.

Dallo sviluppo di e^t = 1 + t + t²/2 + o(t²), con la sostituzione t = −8x² ricaviamo:

e^−8x2 = 1 − 8x² + 32x⁴ + o(x⁴).

Dallo sviluppo di cos t = 1 − t²/2 + t⁴/24 + o(t⁴), con la sostituzione t = 4x ricaviamo:

cos(4x) = 1 − 8x² + 32x⁴/3 + o(x⁴).

Pertanto:

f₁(x) = 1 − 8x² + 32x⁴ − 1 + 8x² − 32x⁴/3 + o(x⁴) = 64x⁴/3 + o(x⁴).

Dagli sviluppi di cosh x = 1 + x²/2 + x⁴/24 + o(x⁴) e di log(1 + t) = t − t²/2 + o(t²), con la sostituzione t = x²/2 + x⁴/24 + o(x⁴) ricaviamo:

f₂(x) = log(cosh x) = log(1 + x²/2 + x⁴/24 + o(x⁴)) = x²/2 + x⁴/24 − x⁴/8 + o(x⁴) = x²/2 − x⁴/12 + o(x⁴).

2. Determinare l’ordine di infinitesimo e la parte principale di f₁(x) e di f₂(x) per x → 0.

Per quanto visto in 1), l’ordine di infinitesimo di f₁(x) per x → 0 è 4 e la sua parte principale è la funzione p₁(x) = 64x⁴/3, mentre l’ordine di infinitesimo di f₂(x) per x → 0 è 2 e la sua parte principale è la funzione p₂(x) = x²/2.

3. Determinare l’ordine di infinitesimo e la parte principale di f₃(x) = f₁(x)/f₂(x) per x → 0.

Per quanto visto in 2), si ha:

f₃(x) = f₁(x)/f₂(x) = (64x⁴/3 + o(x⁴))/(x²/2 + o(x²)) ∼ 128x²/3, per x → 0.

Pertanto l’ordine di infinitesimo di f₃(x) è 2 e la sua parte principale è la funzione p(x) = 128x²/3.

4. Discutere la convergenza dell’integrale improprio ∫₀¹ f₃(x)/√x dx.

Poiché f₃(x) ∼ 128x²/3, per x → 0:

f₃(x)/√x ∼ 128x²/(3√x) = 128x^3/2/3.

E poiché l’integrale improprio ∫₀¹ dx/x^3/2 diverge, per il criterio del confronto asintotico anche l’integrale improprio