Analisi matematica 1 - Esercizi

Esame di matematica I - 13 settembre 2002 - Fila A

Esercizio 1

√−Data la funzione f(x) = 1 + log(1 + 2x) 1 + 4x

(a) Calcolare lo sviluppo di MacLaurin di f(x) al terzo ordine.

√ 1 + 4x:

Cominciamo con il calcolare i polinomi di MacLaurin di ordine 3 di log(1 + 2x) e 2 3(2x) (2x) 8 3 2 3 3− −log(1 + 2x) = 2x + + o(x ) = 2x 2x + x + o(x ); 2 3 3

√ 2 3(4x) (4x)(4x) 3 2 3 3− −1 + 4x = 1 + + + o(x ) = 1 + 2x 2x + 4x + o(x ). 2 8 16

Quindi si ha: √ 8 2 3 2 3 3−− − −1 + 4x = 1 + 2x 2x +1 + log(1 + 2x) x (1 + 2x 2x + 4x ) + o(x ) 34 3 3−= x + o(x ). 300♣

(b) Calcolare f(0) e studiare la natura del punto critico x = 0 (massimo, minimo o flesso).

Ricordando che il coefficiente del termine di grado k del polinomio di MacLaurin di una funzione 00(k) assegnata è uguale a f(0)/k!, dallo sviluppo calcolato al punto precedente si deduce che f(0) = 0.0000 000 43 −8.− , da cui si ricava f(0) =

Allo stesso modo si deduce che f(0) = 0, mentre f(0)/3! =0

Da f(0) = 0 segue che il punto x = 0 è un punto stazionario. Poichè la prima derivata che non si annulla in x = 0 è la derivata terza, quindi una derivata di ordine dispari, applicando il Teorema generale dei punti stazionari si può dedurre che x = 0 è un punto di flesso orizzontale.

f(x)♣ .

(c) Calcolare il limite lim 3x x→0

Si ha 43 43 3 3− −x + o(x ) xf(x) 43 −lim .= lim = lim =3 3 3x x x 3x→0 x→0 x→0

Esercizio 2

Data la funzione: 2xe f(x) = 2 −x 1

(a) Determinare il dominio e calcolare i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti.

2 − 6 6 −1, D −1) ∪ ∪

Dev’essere x 1 = 0, da cui si ricava x = +1. Quindi si ha = (−∞, (−1, 1) (1, +∞).

I limiti agli estremi del dominio valgono:

• 2xe lim = 0; (1) 2 −x 1 x→−∞
• 2xe lim = +∞; (2) 2 −x 1 −x→−1
• 2xe −∞; lim = (3) 2 −x 1 +x→−1
• 2xe −∞; lim = (4) 2 −x 1 −x→1
• 2xe lim = +∞; (5) 2 −x 1 +x→1
• 2xe lim = +∞. (6) 2 −x 1 x→+∞ −∞;

Dal limite (1) segue che la retta y = 0 è asintoto orizzontale per x che tende a dai limiti (2)