Analisi 2 - Esercizi integrali tripli

Calcolo di integrali tripli

1. Integrali tripli con funzione costante

Calcolare il valore di f(x, y, z) dxdydz dove:

• a] f(x, y, z) = 1; E = (x, y, z) : 0 ≤ x ≤ 2; 0 ≤ y ≤ 2x - x; 0 ≤ z ≤ 1
• b] f(x, y, z) = 1; E = (x, y, z) : z > x + y; x + y + z ≤ 1
• c] f(x, y, z) = 1; E = (x, y, z) : x + y ≤ z ≤ x - y
• d] f(x, y, z) = 1; E = (x, y, z) : 0 ≤ z ≤ 1 + y - x; 0 ≤ y ≤ 1 - x
• e] f(x, y, z) = 1; E = (x, y, z) : x + z < 4; x + (z - 2) < 4
• f] f(x, y, z) = e^{z - y}; E = (x, y, z) : 0 ≤ y ≤ z ≤ 1; 0 ≤ x ≤ z
• g] f(x, y, z) = xz; E = (x, y, z) : 0 ≤ x, z ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1
• h] f(x, y, z) = xy + z; E = (x, y, z) : x + y ≤ z ≤ 1
• i] f(x, y, z) = xy + z; E = [0, 3] × [0, 2] × [0, 1]
• j] f(x, y, z) = z(x + y)e^−z; E = (x, y, z) : z < x + y ≤ z + 2

2. Soluzioni

Soluz. (elencate in ordine crescente):

• π
• 2π
• 3
• 8
• 10π
• 12
• 15
• 16

(Un ringraziamento a Giuliano Giudici per la segnalazione di alcuni errori di calcolo.)

3. Altri calcoli di volume

Calcolare il volume della regione delimitata dal cilindro di equazione x² + y² = a² e dall'iperboloide di equazione x² + y² − z² = −a².

4. Calcolo del volume di regioni specifiche

La regione E ⊂ R³ è l'insieme limitato che si ottiene intersecando la superficie di equazione z = log(xy) con il cilindro, con generatrici parallele all’asse z, che si proietta sulla regione A = (x, y, 0) : x ≤ y ≤ 2, x ≥ 1/2. Calcolare il volume di E.

Calcolare il volume della regione E ⊂ R³ contenuta all'interno del cilindro di equazione x² + y² = 1, e delimitata dal paraboloide di equazione z = x² + y² − 2 e dal piano di equazione x + y + z = 4.

5. Volume di rotazione

Sia data la regione A = {(0, y, z) : 0 < a ≤ y ≤ b; g(y) ≤ z ≤ f(y)}, dove f, g ∈ C([a, b]) e 0 ≤ g(y) ≤ f(y). Ruotando A attorno all'asse y si ottiene l'insieme E. Dimostrare che il volume di E vale:

∫_a^b 2π (f(y) − g(y)) dy

Se la regione A dell’esercizio precedente viene ruotata attorno all'asse z, si ottiene l'insieme F. Dimostrare che il volume di F vale:

∫_a^b 2π y [f(y) − g(y)] dy