Analisi 1 - Temi Esame svolti

Name: Analisi 1 - Temi Esame svolti
Rating: 4.5 (2 reviews)
Author: Ric.L

Revisionato il 26/07/2026

di Ric.L

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Tutti i temi svolti di Analisi I degli appelli dal 2015 al 2013- Temi risolti senza saltare i passaggi!! - Passaggi fondamentali spiegatiEsercizi di analisi matematica 1 elaborati dal publisher …

Esame Analisi matematica 1

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Giacomini Alessandro

Università Università degli Studi di Brescia

A.A. 2020-2021

94 pagine

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Esercitazione

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Estratto del documento

Trascrizione e calcoli

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Limite con logaritmi

2lim_x→∞[sen (e^-n + ²/_n!)] [¹/_{n²u + zⁿ}] + 3n [log (n+z) - log n]

D: n [log_a (n+z) - log_a (n)] =^{n+t z·n}n [log (^n+z/_n)] ∩ n (^n+z/_n -1) == n (^z/_n) = z

Ni ∼ 3lim_x→∞ ∫(x) = ³/₂

Limite per x che tende a 0

Limite_x→0⁺(sec(1 + x²) - cosx + 7a/(secx) pari

lim_x→0⁺x² . 1 + 7ax(a + 1)

lim_x→0⁺x² + βx(a + 1)

lim_x→0⁺x² (1 + βx(a + 1)

lim_x→0⁺7 x²x(a + 1)

lim_y→7x⁰⁺1y(a + 1)

Se sostituisco 1/7 il limite esiste finito

Integrale con log e arctan

6∫₀¹ (6x+9) / (x²+2x+2) dx

Bisogna trasformarlo in log e arctan

Vediamo le radici

x_1/2 = ^{-2 ± √(9-8)} / ₂ non ci sono radici

3 ∫ (2x+2) / (x²+2x+2) dx + ∫ 3 / (x²+2x+2) dx

3∙(2x+2) = 6x+6 ← il 6x è a posto mentre

Bisogna aggiungere +3

= 3 log|x²+2x+2| + 3 ∫ 1 / (x²+2x+2) dx

Bisogna scriverlo come somma di 1/_a²+(x+b)² quindi

(x+1)² → (x²+1+2x) +1 →1 + (x+1)²

Serve +1

= 3 log|x²+2x+2| + 3∙¹/_√1 arctan ( ^x+1 / ₁ )

= 3·log|x²+2x+2| + 3·arctan(x+1)

È calcolato nell'intervallo

[3·log|x²+2x+2| + 3·arctan(x+1)]¹₀ =

[3·log 5 + 3·arctan 2] - [3·log 2 + 3·arctan 1] == 3·log ⁵/₂ + 3·arctan 2 - ³/₄π

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Limite con parametro alfa

2lim_n→+∞ [√(n²+3) - n] cos n + 3n^α ∼ √(n⁵+3) + log n

Ni: √(n²+3) - n ⋅ √(n²+3) + n = (n²+3 - n²)/√(n²+3 + n) ∼ n3/(n + n) = 3/2n -> 0 y → +∞ [3/2n] cos y = 0 (|1+sin x|) = 0

D: √(n⁵+3) + log n ∼ n^5/2

lim_n→+∞ f(x) ∼ 3n^α/n^5/2 = 3 lim_n→+∞ n^α/n^5/2 =3 lim_n→+∞ 1/n^{5/2 - α}

Se 5/2 - α è negativo il limite tende a +∞
Se 5/2 - α è positivo il limite vale 0
Se 5/2 - α è uguale a 0 il limite vale 3

Sviluppo di Taylor

lim_x→+∞ [ x² log (3+x) - x² log (x) - 3x ] == lim_x→+∞ [ x² log (3+x/x) - 3x ]

Taylor

log (3+x/x) == (3+x/x - 1) - 1/2 (3+x/x - 1)²

= (3/x - 1/2 (3/x)²

log t = (t-1) - (t-1)² /2

lim_x→+∞ f(x) ≃ lim_x→+∞ x² (3/x - 9/2x²) - 3x =

lim_x→+∞ 3x - 3x - 9/2 = [- 9/2 ]

Integrale improprio

∫_⁰^+∞ [(e^2x-1)]^α / sh(2x) dx

Definita in (0, +∞)

y -> +∞

f(x) ~ e^2xα / (e^2x - e^-2x) / 2

~ (2e^2xα) / e^2x = 2e^2xα-2x

Converge per α 2xα - 2x y -> 0⁺

f(x) ~ (2x^α) / (2x) = 1 / x^1-α

Converge per β 1 - α 0

L'integrale converge ∘ 1 ^◎ 0

Equazione differenziale

\(y'' - 5y' - 6y = 0\)

\(y(0) = 0\)

\(y'(0) = +\)

\(d^2 - 5\alpha - 6 = 0\)

\(d_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2} = \frac{-5 \pm 7}{2}\)

\(6 \; \(e^{6x}, e^{-x}\)

\(y = c_{1} e^{6x} + c_{2} e^{-x}\)

\(y' = 6c_{1} e^{6x} - c_{2} e^{-x}\)

\(y(0) = c_{1} + c_{2}\)

\(c_{1} + c_{2} = 0 \quad c_{1} = -c_{2} \quad c_{1} = 1\)

\(y'(0) = 6c_{1} - c_{2}\)

\(6c_{1} - c_{2} = 7 \quad -6c_{2} - c_{2} = 7 \quad -7c_{2} = 7 \)

\(c_{2} = -1\)

\(y(t) = e^{6x} - e^{-x}\)

\(\widet

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