Teoremi e definizioni per l’esame di Analisi matematica 2

Definizioni

Differenziabilità funzione

(Xf) R - R Differenziabilità funzione ER punto di in una un: . . Rf Sia Sia AEMA EA aperto X con .>: - ., . che vettore che f ER(X differenziabile Yo) Diciamo è esiste tale in se un., o(1(Xa(Xf(x)f(x) 1)) Per XX X X+ += --- . . di approssimazione errore.

Differenziabilità funzione di più variabili

Per piano IRCR (Xof R Differenziabilità funzione yo) punto di in E una: un. ,I (Xof yo)M Sia A E Sia A aperto AE con .: ., , te che anche (Xo differenziabile f è Diciamo Yo) tale in esiste vettore un se, (0o(1)Xf(x (xan(X 0)yoll)y) y) ae(yX) y)f(x0 y)1(yXoll per -+ + += - -- - ,,, ,, dii Per piano errore approssimazione IR3)(in.

Funzione integrabile su un rettangolo

Funzione rettangolo integrabile su un: IRf Siano bE Ed continua X c e a .= >:,, ((af(x integrabili)(ef(x y)ax funzioni. Allora y) continue quindi dye valey sonox - e= :,, /((((f(x( y)dy)ax y)ax)dyf(xf(x y) axay ==, ,,=.

Bordo positivamente orientato

Bordo positivamente orientato: i Sia superficie orientabile il orientata normale regolare versore una e con, che o superficie finito Supponiamo bordo costituito sia di il . da della regolari un, numero curve, (Ot), che bordo n oe Diciamo camminando di orientato il positivamente il Lungo normale versore se sinistra vede alla sua.

Punti di massimo e minimo

Punti massimo di minimo e: De IR"f IR Sia .<: che EDDiciamo è di punto X . f(x)VXEDf(x)f = minimo assoluto per se · f(x)f(x)o VXED massimo = assoluto se per · 3D15Xf(x forte f(x) =) minimo assoluto se x · < .. Di[X 3 forte f(x) Vxf(x ) massimo assoluto se < · . .

• Che f f(x) f(x)Bo(X Bj(Xo)Dr=esiste )relativo minimo Vxctace intorno · se per un.
• Che f(x)Bo(X)f VxDnBj(X )f(x) intorno relativo massimo esiste tale =se per un ·.
• Che forte Bg(X ) f(x) DnBj(X)f(x.)f Vx intorno minimo esiste relativo face un per se < ·.
• Che f(x) 1 Bj(Xo)f(x ) forte f VxcBo(X D massimo )esiste tale relativo intorno se un per > · . .

Campo conservativo

Campo conservativo: ,CIR" R C' funzioneel Un di esiste si dice classe F conservativo scalare se una campo: ,&c" classe C che R tale in U F di 1u: =. . ↓ si F dice di potenziale.

Legami tra campi conservativi e irrotazionali

Legami conservativi irrotazionali campi tra e: (F U)Sia conservativo F campo un =(rotFe 0)irrotazionale Allora F =.

Limite

Limite: to f Sia ElI&I to I to di I estremo oppure, ., ,I RlI- EData ey: che Diciamo = mu(t)-l(t)Im ose =+.

Continuità

Continuità: V che Diciamo UC(t è U(t)< se limElI in continua toU: =.

Derivabilità

Derivabilità: /" che e finito esiste I è Data derivabile si in El to diceto ed seJ u: ,, h) V(to)u(to + -u(to) Lim= h h0-.

Regolarità

Regolarità: ">IData I seJ: - , c'(I)è classe di · oo'(t) XtEI+ 0· che dico è regolare in allora Iy.

Curva semplice e chiusa

Curva semplice e chiusa: cb si dice Data curva una yaU :: , chiusa y(a) (b)se r· =, b)( 2) fatta((t) eccezione+te tr+te semplice te per se a e= U· = =,.

Rettificabilità

Rettificabilità: ,IR"b Data costruiamo intervalli b partizione in dell'intervallo I n una a a-J: :, ,(a b3p + +to(t1 ... == = n che definisce A te corrisponde ((tr) punto di ciascun spezzata sostegno punto sul una un U, .

Lunghezza e La spezzata della nl(P) 1) V(trw( r) 1)Il+= - -k 1= &(0) supp che supe(p)Se rettificabile e diciamo poniamo allora+ eo =, Lunghezza lunghezze superiore estremo spezzate delle delle bdella partizioni Ptutte le di su a curva j ,A è Se b allora regolare.