Domande aperte per esame di Idraulica

RISPOSTA DOMANDE APERTE _ prima parte

giovedi 12 giugno 2025 11:06

Illustrare il principio di funzionamento di una turbina Pelton indicando le ipotesi di lavoro e le semplificazioni introdotte e stimando il massimo rendimento della stessa.

Una turbina Pelton, dovuta detta _h tra il tipo ad azione a parzialmente utilizzata per sfruttare grandi salti di quota, con basse portate. L'acqua ad alta pressione viene convogliata tramite ugelli che trasformano la pressione in getti ad alta velocita', i quali colpiscono le palette di una girante mettendola in movimento

Le pale hanno una forma tale da dividere interamente ricurvata il getto in 2 parti uguali e deviarlo su due direzioni di angoli 180°. Tale cambio di direzione genera una forza che induce la rotazione della girante.

scriviamo il te delle quantita' di moto per la singola pala (in direzione y)

rho Q0' w0 + rho Q0/2 w0 cos beta + rho Q0/2 w0 cos beta - R = phi

assumendo che Q0' = Q in uscita dall'ugello perche' possiamo considerare che il getto non si sdoppii (le pale vengono investite in successione)

oltre per continuita' w1 = w2 = w0

R = rho Qw0 (1+cos beta)

-> vediamo la potenza: forza - velocita' della paletta -> P = R u = rho Q (1+cos beta) w0 u = rho Q (1+cos beta) (v0-u)u

potenza max: dP/du = 0 -> rho Q(1+cos beta) (v0-2u) = 0 <=> u = v0/2

Pmax = rho Q (1+cos beta) (v0 - v0/2) v0/2 = rho Q (1+cos beta) v0²/4

per ricavare il rendimento determiniamo la potenza disponibile in relazione al getto uscente:

Pdisp = Delta E_mech/Delta t = Delta E'/Delta t = m g Delta W/Delta t = rho g Delta V/Delta t = rho g Q = rho Q v0²/2 = rho Q v0²/2

eta = Pmax/Pdisp = rho Q (1+cos beta) v0²/4 / rho Q v0²/2 = (1+cos beta)/2

Se possibile max per beta = 0° ma in questo caso il getto diventa andrebbe a toccare le pale successive riducendo direttamente il rendimento

Si illustri il principio di funzionamento di un'elica e si discuta in particolare il caso di un aereo - ma le eliche/turbina a vento in moto da sinistra verso destra, valutando l'espressione del rendimento.

consideriamo un volume subero in un campo fluido

ipotesi:

• p1 ≈ p4 = p
• velocita' uniforme sulla sezione sezionali
• A2 = A3 = Ae
• trascuriamo il moto di rotazione del flusso

continuita' 2-3: Q = v2 Ae = v3 Ae = ve

the quantita' di moto tra 1-4: rho Q v4 + S - rho Q v1 = phi -> S = rho Q (v1 - v4)

the quantita' di moto tra 2-3: rho Q v2 + p2 A2 + S - p3 A3 - rho Q v3 = phi -> S = Ae (p3 - p2)

NB tra 2 e 3 abbiamo un'applicazione di energia -> E <=> con -> no di Bernoulli:

tra di Bernoulli tra 1-2: p1/rho + h1 + v1²/2g = p2/rho + h2 + v2²/2g -> p2 = rho/2 (v1²-v2²) < 0

tra di Bernoulli tra 3-4: p3/rho + h3 + v3²/2g = p4/rho + h4 + v4²/2g -> p3 = rho/2 (v4²-v3²) > 0

S = Ae rho/2 [(v4²-v2²) - (v3²-v1²)] = Ae rho/2 (v4²-v3²-v2²+v1²)

S = Ae rho/2 (v3²-v1²)

ma S = rho Q (v4-v1) = rho Ae (v3-v1)

rho Q (v4-v1) = rho Ae (v3-v1) -> Q/Ae = (v4+v1)/2 = ve

-> nel caso di un AERO: v1 = 0, v2 = 0

S = rho Q (v3-v4)

potenza fornita all'elica: potenza utile [P_u = Su = rho Q U S]

potenza spesa dalle eliche: [P_s = S Vc = rho Q S Vc = rho Q S (u1 + u2)/2 = rho Q S u + rho Q S u/2]

rendimenti [eta_c = P_u/P_e = rho Q c u / (rho Q u + rho Q u²/2) = u/(u + u/2) = 1/(1 + u/2u)]

potenza fornita dall'elica, P_e = rho Q E = rho Q S²/4 = rho Q S²/2

nel caso di pale eliche

potenza fornita all'elica: [P_u = -Su² = -rho Q (u_a+u_v) (u_a+u_v)/2]

potenza disponibile del vento [P_v = rho Q u³/2 = rho Q v³/2]

rendimenti [eta = P_u/P_vento = rho Q (u²-v²)/2rho Q u³ = (v²-u²)/u² = 1 - u²/v²]

Si ricavi la distribuzione delle velocita e degli sforzi tangenziali in una sezione trasversale per un moto laminare uniforme in un tubo a sezione circolare.

ipotesi: moto laminare uniforme -> moto stazionario unidirezionale -> tubo a sezione circolare

u_r = u_theta = 0, u_x = cost

siamo le equazioni di Navier-Stokes in coordinate x:

2/r (r+q) = mu (d²u_x/dr² + 1/r du_x/dr) + rho (2? ...)

u_x = - (1/4mu) (dp/dx) r² + c₁r + c₂

condizioni al contorno: u_x(r) = 0, u_x(r = ? ) = 0

u_x = xi/4mu (r_o² - r²)

u_max = xi r_o²/4mu

u = 1/2 u_max = xi r_o