Esercizi sui limiti: Verificare attraverso la definizione di limite che la funzione y=(x-3)/(x^2-x) ha un asintoto verticale nel punto x=0.

Verificare che la funzione ha un asintoto verticale nel punto

 x 3  

Verificare che la funzione ha un asintoto verticale nel punto .

y x 0  2 x x  x 3  

Deve essere: .

lim  2 x x  x 0

Si deve verificare che, scelto M>0, arbitrariamente grande, esiste un intorno di 0 per ogni x del quale, escluso 0, si ha:

 x 3 > .

M

 2 x x

Risolvendo la disequazione:

  x 3 x 3   

 .

M M

  2 2 x x x x

      

2 2

Mx ( 1 M ) x 3 Mx ( 1 M ) x 3

 



Cioè 0 0

  2 2 x x x x

Per la prima:        

2 2

M 1 M 10 M 1 M 1 M 10 M 1

  

    

2 x x

N) Mx ( 1 M ) x 3 0 2 M 2 M



   



2

D) x x 0 x 0 x 1

Per la seconda:        

2 2

M 1 M 10 M 1 M 1 M 10 M 1

  

     

2 x x

N) Mx ( 1 M ) x 3 0 2 M 2 M



   



2

D) x x 0 x 0 x 1

Per stimare le quantità dipendenti da M bisogna confrontarle con 0 ed 1, per poterle disporre correttamente nel grafico delle soluzioni. Certo non assegnando un valore arbitrario a M.

Ad esempio per la prima disequazione:

   

2

M 1 M 10 M 1  

     

    2 2

2 2

0 M 1 2 M M 10 M 1

( M 1

) M 10 M 1

2 M

vera

   

2

M 1 M 10 M 1 

     

2 2

0 falsa

( M 1

) M 10 M 1

2 M

   

2

M 1 M 10 M 1  

    

      

2 2 2

M 1 M 10 M 1 2 M

1 ( M 1

) M 10 M 1

2 M 1