Esercizi sui limiti: Verificare attraverso la definizione di limite che la funzione y=(x-3)/(x^2-x) ha un asintoto verticale nel punto x=0.



x 3

 

Verificare che la funzione ha un asintoto verticale nel punto .

y x 0



2

x x



x 3  

Deve essere: .

lim 

2

x x



x 0

Si deve verificare che, scelto M>0, arbitrariamente grande, esiste un intorno di 0 per ogni x del

quale, escluso 0, si ha:



x 3  .

M



2

x x

Risolvendo la disequazione:

 

x 3 x 3

  

 .

M M

 

2 2

x x x x

      

2 2

Mx (

1 M ) x 3 Mx ( 1 M ) x 3

 



Cioè 0 0

 

2 2

x x x x

Per la prima:        

2 2

M 1 M 10 M 1 M 1 M 10 M 1

  

    

2 x x

N) Mx (

1 M ) x 3 0 2 M 2 M



   



2

D) x x 0 x 0 x 1

Per la seconda:        

2 2

M 1 M 10 M 1 M 1 M 10 M 1

  

     

2 x x

N) Mx ( 1 M ) x 3 0 2 M 2 M



   



2

D) x x 0 x 0 x 1

Per stimare le quantità dipendenti da M bisogna confrontarle con 0 ed 1, per poterle disporre

correttamente nel grafico delle soluzioni. Certo non assegnando un valore arbitrario a M.

Ad esempio per la prima disequazione:

   

2

M 1 M 10 M 1  

     

    2 2

2 2

0 M 1 2 M M 10 M 1

( M 1

) M 10 M 1

2 M

vera

   

2

M 1 M 10 M 1 

     

2 2

0 falsa

( M 1

) M 10 M 1

2 M

   

2

M 1 M 10 M 1  

    

      

2 2 2

M 1 M 10 M 1 2 M

1 ( M 1

) M 10 M 1

2 M 1