Valori Efficaci e Metodo Simbolico

Valori efficaci

f(t) = f_o sin ωt

I(t) = _fo/^R sin ωt = I_o sin ωt

P_GEN(t) = P_RES(t) = RI²(t) = RI_o² sin² ωt

P_{RES MED} = <P_RES> = ₁/^T ∫ P(t)dt = ₁/^T ∫₀^T RI_o² sin² ωt dt == _RIo²/^ωT ∫₀^ωT sin² ωt d(ωt) = _RIo²/^2π ∫₀^2π sin²x dx = _RIo²/^2π [_x/² - sin2x/4]₀^2π == _RIo²/^2π [(π-0) - (0-0)] = _RIo²/² = R I_eff²

Valori efficaci

f(t) = f_o sin ωt

I(t) = _fo/^R sin ωt = I_o sin ωt

P_GEN(t) = P_RES(t) = R I²(t) = R I²_o sin² ωt

P_RESmed = <P_RES> = ₁/^T ∫₀^T p(t) dt = ₁/^T ∫₀^T R I²_o sin² ωt dt == _{R I²o}/^ωt ∫₀^ωt sin² ωt d(ωt) = _{R I²o}/^2π ∫₀^2π sin² x dx = _{R I²o}/^2π [_x/² - sin 2x/₄]₀^2π = = _{R I²o}/^2π [ (π - 0) - (0 - 0) ] = _{R I²o}/² = R I²_eff

I_eff = I₀ / √2

F_eff = √(1/T ∫₀^T f²(t) dt) = F₀ / √2

Metodo simbolico

A(t) = A₀ sin(ωt + φ)

A₀ sin(ωt ± φ)

A₀ cos(ωt ± φ)

A̲ = A₀ e^{± jφ}

Fasore

e^{± jφ} = cos φ + j sin φ

A̲ = ReA̲ + j ImA̲ = |A̲| cos φ + j |A̲| sin φ = |A̲| e^jφ

|A̲| = √((ReA̲)² + (ImA)²)

tg φ = Im A̲ / Re A̲

A̲₁ / A̲₂ = |A̲₁| / |A̲₂| e^-jφ₁ / e^-jφ₂ = |A̲₁| / |A̲₂| e^{j (φ₁ - φ₂)}

A̲_TR = A̲_R / A̲₂ = |A̲_R| e^jφ_AR   (|A̲_R| = |A₁| / |A₂|)

φ_AR = φ₁ - φ₂ = arctan(Im A̲₁ / Re A̲₂) - arctan(Im A̲₂ / Re A̲₂)

Applicazioni del fasore

I(t) = I₀ sen ωt   =>   Ī = I₀ e^j0

V_R(t) = RI₀ sen ωt   =>   V̅_R = RI₀ e^j0

V_L(t) = ωLI₀ sen(ωt + ^π⁄₂)   =>   V̅_L = ωLI₀ e^jπ⁄2

e^jπ⁄₂ = cos ^π⁄₂ + jsin ^π⁄₂ = +j   =>   V̅_L = ωLI₀j = jωLĪ

V_C(t) = ^I₀⁄_ωC sen (ωt - ^π⁄₂)   =>   V̅_C = ^I₀⁄_ωC e^-jπ⁄₂ = ^Ī⁄_jωC

RI₀ = RI

{   V̅_R = RĪ    V̅_L = jωLĪ    V̅_C = ¹⁄_jωC Ī}

Impedenza

V̅ = Z̅Ī   -> Legge di Ohm generalizzata

Z̅_R = R

Z̅_L = jωL

Z̅ = ¹⁄_jωC

Impedenze in serie

Ī        V_s┌─┐ ┌─┐ ┌─┐

v₁   v₂

z₁   z₂

V_s = V₁ + V₂ = Ī z₁ + Ī z₂ = Ī (z₁ + z₂)

z_s = z₁ + z₂

Impedenze in parallelo

│    Ī         V│  └─┐ p₁  └─┐ z_v  └─┐ └─┐ │        z_v

Applicazione

Z_Z = Re_Z + j Im_Z = R + j X

Resistenza Reattanza

Se X > 0 => _ϕ > 0 Reattanza di tipo induttivo

Se X _ϕ Esercizio

R=100 _Ω

V_eff = 100V

C = 0,1 µF

ω = 10⁵ rad/s

A(t) = A₀ sin (ωt + _ϕ) => A = A₀ e^jϕ

V_s = 230V√2 ≈ 325V