Una semplice dimostrazione del teorema di Pick

Intervento al 3° convegno nazionale ADT

“Matematica, Formazione Scientifica e nuove tecnologie” (Ferrandina, dicembre ‘04)

Una semplice dimostrazione del teorema di Pick

1

di Domenico Lenzi

Introduzione

Mauro Cerasoli, in una conferenza intitolata “Alcuni teoremi spettacolari da portare in classe” (convegno Matematica senza Frontiere, Lecce, 2003) illustrò, tra l’altro, la cosiddetta formula di Pick.

Questa, come è noto, fornisce in un modo sorprendente l’area di un poligono avente come frontiera una poligonale semplice e chiusa i cui vertici corrispondono ai punti d’incontro (nodi) di rette di un piano che determinano una quadrettatura (vedere figg. 1 e 2).

Noi cercheremo di trasformare la sorpresa legata a questa formula in qualcosa di intuitivamente convincente, a cui faremo seguire – senza pretese di originalità – alcune considerazioni di tipo più rigoroso.

In letteratura ci sono numerosi articoli sull’argomento, alcuni dei quali vengono citati in Bibliografia. Qui per lo sviluppo del paragrafo 2 e per le figure numerate ci siamo riferiti a un articolo di Gianfranco Bo (si veda [3]).

I = 14 B = 9 I = 10 B = 12

Fig. 1 fig. 2

1. Considerazioni generali

A pag. 84 degli atti del convegno leccese M. Cerasoli scrive (vedere figg. 1 e 2): «Consideriamo il quaderno a quadretti, ovvero quello che le maestre chiamano il geopiano.

In altri termini, consideriamo i nodi del quaderno, cioè le intersezioni delle rette. Fissati alcuni nodi, possiamo considerare il poligono racchiuso da essi […]

La formula di Pick ci dà l’area di un tale poligono quando l’unità di misura è la distanza tra le rette […]

Basta conoscere: 1. il numero I di nodi interni al poligono; 2. il numero B di nodi che si trovano sui lati che formano il poligono.

Allora l’area del poligono vale I – 1 + B/2. Sarebbe il caso di conoscere una dimostrazione elementare di questo teorema».

Sin qui le parole di M. Cerasoli. Noi, raccogliendo il suo invito, cercheremo di presentare qualche prova semplice e convincente del teorema di Pick.

Comunque facciamo presente

1 Domenico.lenzi@unile.it; Dipartimento di Matematica dell’Università, 73100 Lecce. 2

che in [2] è anche riportata un’esperienza svolta nella quarta classe di un liceo scientifico, dove – nel corso di mezz’ora – 4 studenti su 24 sono riusciti a ricavare la formula di Pick osservando alcuni casi particolari.

Per facilitare alcuni conteggi noi preferiamo scrivere la formula precedente nel seguente modo:

(1) I + (B-2)/2.

Grazie al secondo addendo della (1), in alcuni casi noi trascureremo di proposito due nodi opportunamente scelti sul bordo del poligono, e conteremo i rimanenti.

Intanto ricordiamo che si chiama poligonale semplice una sequenza p di segmenti consecutivi s₁ … s_n che non si “intrecciano”.

In termini meno disinvolti ciò significa che i segmenti dati si incontrano esclusivamente negli estremi, ma in modo tale che ogni segmento s_i distinto da s₁ e da s_n abbia in comune ciascuno dei suoi due estremi rispettivamente col segmento s_i-1 che lo precede e col segmento s_i+1 che lo segue; con l’ulteriore possibilità che il primo e l’ultimo segmento s₁, s_n abbiano in comune l’estremo residuo, nel qual caso la poligonale si dice chiusa.

Se p non è chiusa, allora gli estremi “liberi” di s₁ e di s_n sono detti estremi di p.

Una poligonale semplice e chiusa situata su di un piano ne delimita una parte che viene chiamata poligono semplice.

Ciò è facile da accettare da un punto di vista intuitivo e non presenta grandi difficoltà dimostrative (si veda [16], pag. 494 e segg.).

Avendo chiamato poligoni (quadrati, rettangoli...) di Pick i poligoni di cui parliamo si può notare che – a prescindere dal fatto che il teorema di Pick sia vero oppure no – la formula (1) a priori rappresenta un modo per attribuire una particolare valutazione v(P) all’area di un poligono di Pick P.

Perciò, avendo indicato con a(P) l’area effettiva di P, si tratta di provare che v(P) = a(P).

Noi arriveremo alla dimostrazione dopo aver svolto le seguenti tre fasi preliminari:

• 1) Proveremo che la valutazione v gode di particolari proprietà additive e sottrattive;
• 2) Verificheremo il teorema di Pick per rettangoli che abbiano due lati orizzontali e due verticali;
• 3) Estenderemo il teorema di Pick ai triangoli.

2. Le fasi preliminari

Proviamo quanto preannunciato alla fine del paragrafo precedente.

1) Supponendo di avere un poligono di Pick P₀ che risulti dall’“accostamento” (unione) di due altri poligoni di Pick P₁ e P₂ e che abbiano in comune una poligonale semplice e non chiusa q (si veda fig. 3), verifichiamo la seguente eguaglianza:

v(P₀) = v(P₁) + v(P₂). (2)

2 Ben più difficile – però da un punto di vista dimostrativo (si veda [4]) – è il caso in cui invece di una poligonale semplice e chiusa si