Geometria e Algebra T (appunti + esame)

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Geometria e algebra lineare

Indice

• Teorema 6
• Teorema 6
• Definizione 6
• Definizione geometrica 6
• Proposizione 6
• Proposizione 6
• Proposizione 7
• Proposizione 7
• Equazione retta nello spazio 7
• Fasci di rette 7
• Matrice 8
• Sistemi equivalenti 8
• Matrice a scala 8
• Proposizione eliminazione di Gauss 8
• Definizione di rango di una matrice 8
• Proposizione sulle matrici ottenute da A 9
• Teorema di Rouchè - Capelli (parte 1) 9
• Teorema di Rouchè - Capelli (parte 2) 9
• Teorema di Rouchè - Capelli (parte 3) 9
• Funzione iniettiva 9
• Funzione suriettiva 10
• Funzione biunivoca 10
• Assiomi dello spazio vettoriale 10
• Vettore 10
• Operazioni tra vettori 11
• Combinazioni lineari 11
• Sistema di riferimento 11
• Teorema 11
• Sistema di riferimento cartesiano 11
• Teorema 12
• Linearità delle coordinate 12
• Funzione lineare 12
• Teorema 12
• Retta passante per l’origine () 12
• Significato geometrico della retta passante per l’origine 13
• Retta non passante per l’origine 13
• Formula retta passante per due punti 13
• Matrice hessiana 13
• Lemma 13
• Distanza tra due rette parallele 13
• Prodotto tra matrici (prodotto righe per colonne) 14
• Ax=b 14
• Sistemi di equazioni lineari 14
• Sistema lineare 14
• Distanza tra punto e retta 14
• Condizione di perpendicolarità tra rette 15
• Trasposta di una matrice 15
• Proprietà della trasposta 15
• Matrice quadrata 15
• Proprietà delle matrici 15
• Matrice invertibile 16
• Teorema 16
• Teorema 16
• Osservazione 16
• Regola per stabilire se un sistema è risolubile 16
• Lemma 16
• Calcolo dell’inversa 16
• Proposizione 17
• Spazi vettoriali 17
• Funzione lineare 18
• Sottospazi vettoriali 18
• Sottospazi di 18
• Sottospazi di 18
• Applicazioni lineari 18
• Proposizione 19
• Proposizione 19
• Nucleo di un’applicazione lineare 19
• Immagini di un'applicazione lineare 19
• Proposizione 19
• Definizione 20
• Proposizione 20
• Come trovare l’immagine 20
• Insieme di generatori di V 20
• Span 21
• Osservazione 21
• Proposizione 21
• Dimensione 21
• Teorema 21
• Lemma 21
• Schema 22
• Linearmente indipendenti 22
• Base 22
• Iniettività e suriettività 22
• Teorema 23
• Rango per righe 23
• Rango per colonne 23
• Teorema 23
• Corollario 23
• Determinante 23
• Matrice triangolare 24
• Teorema di Binet 24
• Segno del determinante 24
• Determinante matrice 3 x 3 24
• Proprietà del determinante 25
• Prodotto misto 25
• Sviluppo di Laplace 25
• Minore 25
• Teorema degli orlati 25
• Proposizione 25
• Geometria proiettiva 26
• Proposizione 26
• Proposizione 26
• Matrice associata a un’applicazione lineare 26
• Autovettori e autovalori 26
• Proposizione 26
• Teorema 27
• Polinomio caratteristico 27
• Molteplicità algebrica 27
• Molteplicità geometrica 27
• Teorema 27
• Corollario 27
• Definizione 27
• Matrici simmetriche 27
• Matrici asimmetriche 28
• Teorema 28
• Teorema 28
• Segnatura di una matrice simmetrica 28
• Proposizione 28
• Gradiente 28
• Formula di Taylor 29
• Conica 29
• Quadrica 29
• Conica non degenere 29
• Proposizione 30
• Proposizione 30
• Base canonica di 30

Teorema

r a x + b y + c = 0 v Sia una retta di equazione e sia un vettore (a, b) r v geometrico di componenti, allora la retta e il vettore sono perpendicolari.

Teorema

r a x + b y + c = 0 v Sia una retta di equazione e sia un vettore (a, b) v geometrico di componenti, allora il verso di guarda verso il a x + b y + c > 0 semipiano.

Definizione

v, v v (x, y) e v (x, y) Dati due vettori di componenti il 1 2 1 1 1 2 2 2 v v prodotto scalare tra e si indica in tre modi diversi: 1 2 ( ) v ⋅ v < v, v > v v | 1 2 1 2 1 2.

Definizione geometrica

∥v ∥ v Se indichiamo con: =lunghezza (o norma) di e con 1 1 ∥v ∥ v =lunghezza (o norma) di. 2 2 v ⋅ v = ∥v ∥ ⋅ ∥v ∥ cos θ 1 2 1 2.

Definizione algebrica

v ⋅ v = x x + y y 1 2 1 2 1 2.

Proposizione

v v Dati e due vettori, 1 2 v ⋅ v = 0 ⇔ v = 0 v = 0 v ⊥ v oppure oppure 1 2 1 2 1 2.

Proposizione

( ) v(a, b) P x, y Le componenti di con punto di applicazione e 1 1 1 ( ) P x, y (x − x; y − y) punto finale sono:. 2 2 2 2 1 2 1.

Proposizione

P, P, . . ., P, P Sia V un poligono piano di vertici. L’area del 1 2 n 1 poligono si trova mediante la formula: x y x y x y x y n−1 n−1 2 2 n n 1 12 A = + + . . . + + x y x y x y x y 3 32 2 n n 1 1.

Proposizione

( ) ( ) P x, y v a, b r Sia un punto, un vettore, la retta passante per 1 1 1 P ⊥ v S S red, i semipiani individuati da come in figura. 1 1 2 ( ) P x, y Allora se è un punto arbitrario del piano:

• P ∈ r ⇔ v ⋅ (P P) = 0 • 1
• P ∈ S ⇔ v ⋅ (P P) > 0 • 1 1
• P ∈ S ⇔ v ⋅ (P P) < 0 • 2 1

Equazione retta nello spazio

Una retta nello spazio si può rappresentare come intersezione di due piani. 3R Ogni equazione rappresenta un piano nello spazio (in ).

Fasci di rette

( ) P x, y Dato l’insieme di tutte le rette passanti per P, si dice 0 0 fascio proprio di rette di centro P.

r e r Se sono due rette distinte del fascio di equazioni 1 2 { r : a x + b y + c = 0 1 1 1 1 rispettivamente r : a x + b y + c = 0 2 2 2 2.

Allora le rette del fascio sono tutte e sole le rette che ammettono un’equazione della forma: ( ) ( ) λ a x + b y + c + u a x + b y + c = 0 λ u con NON e 1 1 1 2 2 2 ENTRAMBE NULLE.

Matrice

• Una matrice è una tabella rettangolare di numeri.
• Una matrice con una sola riga si dice anche vettore riga.
• Una matrice con una sola colonna si dice anche vettore colonna.
• Le operazioni di base sulle equazioni, sono: somma, differenza, moltiplicazione per numeri.
• Queste operazioni si chiamano combinazioni lineari.
• Somma su vettore riga: [ ] [ ] [ ] a, . . ., a + b, . . ., b = a + b, . . ., a + b 1 n 1 n 1 1 n n.
• Prodotto per un numero su vettore riga: [ ] [ ] c a, . . ., a = c ⋅ a, . . ., c ⋅ a 1 n 1 n.
• Pivot del vettore riga: è il primo elemento non nullo da sinistra del vettore riga. Indice di pivot: indice di colonna corrispondente.

Sistemi equivalenti

Due sistemi si dicono equivalenti se hanno lo stesse soluzioni.

Matrice a scala

i, i, . . ., i Sia A una matrice con m righe. Siano gli indici di pivot 1 2 m delle righe della matrice A. i < i < i < . . . < i La matrice A si dice a scala se. 1 2 3 m.

Proposizione eliminazione di Gauss

Mediante operazioni elementari sulle righe si può trasformare un qualsiasi sistema lineare in un sistema lineare ad esso equivalente la cui matrice completa è a scala.

Definizione di rango di una matrice

• 1° caso: Sia A una matrice a scala. Si definisce il rango di A il numero di pivot di A, ossia il numero di righe non nulle di A.
• A’ 2° caso: Sia A una matrice a scala. Sia una matrice ottenuta da A mediante operazioni elementari sulle righe. Per definizione il rango di A è il rango di A’, ossia il numero di pivot (righe non nulle di A’).

Proposizione sulle matrici ottenute da A

A e A Sia A una matrice e siano matrici a scala ottenute da A 1 2 A e A mediante operazioni elementari sulle righe. Allora hanno lo 1 2 stesso numero di pivot.

Teorema di Rouchè - Capelli (parte 1)

Un sistema lineare è risolubile se, e solo se, la matrice dei coefficienti e la matrice completa hanno lo stesso rango.

Teorema di Rouchè - Capelli (parte 2)

A x = b Sia un sistema lineare. Sia A una matrice con m righe e n colonne. Supponiamo che sia risolubile e sia K il rango di A. ⇔ K = n Allora il sistema ammette un’unica soluzione K ⩽ n, K ⩽ m (Osserviamo che ). Ossia in ogni colonna di A c’è esattamente un pivot.

Teorema di Rouchè - Capelli (parte 3)

A x = b Sia un sistema risolubile, con A matrice, con m righe, n K < n colonne e rango K. Se, allora ci sono infinite soluzioni che n − K dipendono da parametri.

Funzione iniettiva

Una funzione iniettiva è una funzione che associa, a elementi distinti del dominio, elementi distinti del codominio. NB: Ad ogni y è associata una sola x.

Funzione suriettiva

Una funzione suriettiva si dice suriettiva quando ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio.

Funzione biunivoca

La funzione f si dice biunivoca o biiettiva se è sia iniettiva che suriettiva.

Assiomi dello spazio vettoriale

Somma (cassetto 1-2-3-4)

• v + w = w + v 1. Commutativa.
• ( ) ( ) v + v + v = v + v + v 2. Associativa 1 2 3 1 2 3.
• ∃ 0 ∈ V : v + 0 = 0 + v = v ∀ v ∈ V 3. Un elemento elemento neutro (0) dell'addizione.
• ∀ v ∈ V ∃ w : v + w = 0 w −v 4. ( si indica con e si dice opposto di v) l’opposto.

Prodotto (cassetto 5-6-7-8)

• ( ) ( ) a bv = a b v 5. Associativa.
• (a + b)v = av + bv 6. Distributiva.
• a(v + w) = av + aw 7. Distributiva.
• 1v = v 8. Elemento neutro della moltiplicazione.

Vettore

Un vettore è caratterizzato da: un punto di applicazione (o), un punto finale, una lunghezza, una direzione e un verso. Si rappresenta con OP un segmento orientato e la sua lunghezza si indica con.

Operazioni tra ve