Serie numeriche

Precisazioni

precisazionialcuneEI è diERsia A diaaccumulazionef : c-e punto*gcx)line3- R chediceSe si 8 lo✗c- perconverge →• ✗ xo→ }{ divergeline si)3- dicegcx cheC- persi xo✗se +0 O →• -,✗ lo→$ line oscillanteche)Se dice è irregolaregcx lo xosi per ✗o →• to✗ →Def . EI Illosi definitivamente )Pproprietàche 7 Pvaledice èdi tale chefunzione soloper xo seuna ✗una ese→}{)Iko tovera E✗ iEs .84 woo) ✗= -è ) definitivamentefache perO covero ✗ +> → /18k" )Def " lineScriveremo ( )line solofcx) + osenza segno eco se =se=. Lo to✗ ✗→ →-7 |live¥ I /8K )es line) ¥Socx o= +ma- = , oo ✗✗ →→&line valescriverepuò cheche ilesiste dellimite modulosi il limite esistedirecheil vuol + comaco non e→= ,o→✗ infinitobenequesto diè sottintenderePer ilmaiB segnov. non. equivalenteline èfcx) linenonO Six ) o+a -= to✗to →✗ →

Serie numeriche

( Achille )la tartarugaeTttAlt) )Achille dellaposizione di tartarugaposizione(a) ( )sia 1A- 1-0 o == , /vi 11 2sia va e ==| i170)--1(01--01- (a)raggiunge tempoal1 1A. 1- =§ (1)1+12Ma (1)T A>==(f) § f-f-T è= + =- che la avantièsarà tempo andatoperché nel Tvia raggiungeA1- avanticosìe sempre .,, ,A mairaggiunge Tnon .Ma controciò ilva comunesenso .Ma Ta raggiunge .(2) 2A =(2) f.1- 217 2= =tempofa alLo 2 . infinitiLa intervalli infinitiche tempogabala tempodevo significadiio questoè ma nonsommare .,Infatti intervalliinfinitila inpuò tempodaredi finito questo caso 2somma un , .infiniti ?diQuando numerila è finitas om m aES . + aE{ } 'di termineData formalerealesuccessione dicesi eserie espressione angeneraleuna anan non o ,, llol l ="" vadaserielegge che +0osi apere u . )((dice divergenterispettivamenteche )si irregolarela coserie aatoè convergente soloo sesa e: seo-, ,neE irregolare( )convergente divergenterisulta ala successione sani.sui o= .,hoa - )delle (parziali dila dellasuccessione seriedettasuccessione anvienesu somme o .Nota indeterminataoscillanteanchedisinonimi irregolare si :come ousano .,Es o+Eseriela unUntoQuindi dellaè serieil generaleterminenau =inE dellesuccessionela parzialiè sommensu = OhtinE 2 1ne 2+1 1- + un0n ++ +due === _ _. . . . .neo m% o+-= a+ne →divergesue" "la divergeserieIl èdi serie divergentediproprietàla irregolarecarattere convergenteessereuna sua o .,

Proprietà delle serie

• Proprietà 1) 1-lo+ ioEE au callc. + o noho ane = is++a+ èio "E EE cheloche stessohannoMostrare aucaratterean ccan e can =e honoho no neane a= ,É SuQK =K ho=nE )(cari Ok QuotQuCano Camera QuCcCano1- Quott= += + = it1 =-.+ . - -.K no= leEC Su= Olk C-=E- nodivenga diversesu convergeallora mentre convergeSu super c.co perse suse cou c.u → ++→ , ,
• Proprietà 2) definitasuppioauo benan perMI7il haiha >+ o + ioE E anan UzUUnD= =cheMostrare hanno stesso caratterelo .allo stessoconvergenti valore ?sonose convengono, tu-1nztu EE E + anau an= 4=42U Un UnU= =-sommafinita o++ a EE anche finitoperchése an diqualcosaconvergean converge sanno ., nellaa- uz O++ lo EE diverge anche finitoperchéan diqualcosaconvergeanse sanno ., Nellaa- uz diversi qualcosavalorise perchéconvergono a sannoconvergono, .,

Numericheserie rapporto

NUMERICHESERIE rapporto=maDel si dice Rsuccessione Egeometrica ragionedi q{ ^ per u o=an = "q 71per uTETanti 1una >= ='q usoperq=-qoeffetti cioèdefinirepotrebbe ricorrenzaIn si an :per ,tu1ao an 1>am q= = e ,- + oEdiDel geometricaè èse detta dila geometrica ragione an9successione seriean ragione q ., 0Ll =ÈPer qui91=0 puòsi scrivere U 0=teorema dila ragionegeometricaserie :9÷1) 1-1<9aconverge <se,a) diverge 71a se qo+3) oscilla E -1qsedimmi[ delle parzialisusia successionelaau somme= 0ut 19=0 anao 0 1per tue• == = ne£11 1di 1+Siso lo 0SinloQo =+ == = = = =. . ,.,, ,.÷la serie ^converge sommacon = → ,=• 9=1 1 1 1 tuper 70al alleao = = . ,. ., ,inE diverge1 la seriesin 1 net +a coco= = +→ →OU o= +ne → "-1-1 9an#9per• n qo : =1m qui1quE -Sue = =0U = 1 -9 chepuò verificare osservandosi induzione :oppureper +1qui1qui1+9 _1- =+ .. . 1- 9) qu' ^)" (( 1 1q1+9 9 =+ -+ -. .. # ¥-9 "-9/+9/-9%79 "" que1 1++ =. . -.. .^qui + ÷se 1 < 1 sueq< o→- _coma +aun +→^qui -1%+se sue1 co:>q a+ +__ =ma o+ • un +→""se limitepuò-1 avereEq : nonq ""^+""" // (perché / )può1 limitecui limite1| 0 népositivo ±negativopuò avereaverenon nnonq e>q oper== dispariè1{ se ne""perché sgn q pari= è→ se neÈSe 'fosse avrebbesue C- assurdoS esi :→un a→ +9Mt ^ 1)( cioè( (1) avrebbe limite)1 1sue s suq + q= →+ - - .vuotoche -1conclude oscillasi quindilimite lahaEper suq serienon .,, pari{ 1" nE )fa9=-1 anper == dispari1 u-{ pani1 insui -1+111- == .. . dispario inlimitatalimite èhanon ma 1 SulInvece 9<-1 : ase +→un +0→Proposizione+ co ( f)E divergelog ' a a+ +,u=dire "un " [ ]E ) è§( cogliete log)parziali fa eag Èsuisuccessione log usomme = =: + -= ,1A- )( )2) log) loginlog (( 3logloft -11(2-log t un++ =--= . . .là (lofn( loglog¥ )) oneti¥2 O neti = +++ + →-= .- .. .- comeno +Oss È )( è telescopiche QuandodiMengolidiserie scrivola esempi serieprecedente lalaesuccessionesono ., , trannedelle tutti finitosemplificano loparziali 2 piùsisomme numeroun o, ., ," "generalizzataSerie Mengolidi0+ ' n'