Serie numeriche - Analisi 1

Serie numeriche

Generalità e definizione

Sia una successione di numeri reali. L’obiettivo è quello di definire in modo rigoroso la somma degli infiniti termini, , … , , …

Si considera una somma parziale fino ad e poi si esegue il limite di questa somma; si noterà come anche questa volta la somma di infinite quantità può dare una quantità finita. Si pone:

→ = successione parziale 0

→ = + successione parziale 0 1

→ = + + successione parziale 0 1 2

= + + + ⋯ + = ∑ 0 1 2 =0

Si dice serie numerica di termine generale la successione delle somme parziali +∞∑ In simboli: =0

Convergenza, divergenza e irregolarità delle serie numeriche

Si definisce:

• ∑ ( ) una serie convergente se è convergente
• ∑ ( ) una serie divergente se è divergente
• ∑ ( ) una serie irregolare se è irregolare

∑ lim = ∈ ℝ Sia una serie convergente e sia →+∞ +∞∑ = lim = Allora si dice somma delle serie e si scriverà che =0 →+∞ ∈ ℕ

Si osservi che per ogni si può scrivere che:

• +∞ +∞ = + = + ∑ ∑ ∑ =0 =0 =+1

La successione si dice resto della serie

Proprietà delle serie convergenti

∑ lim = 0 Se una data serie converge, allora

1 →+∞

Dimostrazione

∑ Sia una serie convergente

lim = ∈ ℝ

Allora →+∞ +∞∑ = − Risulta

=0 +∞∑lim = − lim = − = 0

Passando al limite si scriverà

=0→+∞ →+∞

Teorema: condizione necessaria alla convergenza

∑ lim = 0 Se una data serie converge, allora condizione necessaria è che →+∞

Dimostrazione

=0∑ = Sia somma parziale della serie lim = ∈ ℝ Per ipotesi →+∞ = − = + + ⋯ + + − − − ⋯ −

Intuitivamente risulta: −1 0 1 −1 0 1 −1

lim = lim − lim = − = 0

Passando al limite si scriverà −1→+∞ →+∞ →+∞

Esempi notevoli

Serie geometrica

+∞ ∑ ∈ ℝ Una serie geometrica è una serie dove è detto ragione della serie

=02 → = = 1 + + + ⋯ + = 1 + 1 + ⋯ + 1 = + 1 (lim = lim + 1) = +∞→+∞ →+∞

2 → ≠ = 1 + + + ⋯ + (1 − ) Moltiplicando ambo i membri per 2 (1 (1 )(1− ) = + + + ⋯ + − ) 2 2 +1 +1= 1 + + + ⋯ + − − − ⋯ − − = 1 − +11− = 1− 1|| < 1 → 1−+11−lim = lim = { ≥ 1 → +∞ 1−→+∞ →+∞ ≤ −1 → 1