Analisi 2 - parte 1

Revisionato il 04/09/2026

di Lociano94

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Serie di potenze. Richiami sulle serie numeriche: criteri di convergenza, convergenza assoluta e convergenza semplice. Serie di potenze in campo reale: proprietà principali; derivazione e …

Esame Complementi di analisi e statistica

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Ferrario Benedetta

Università Università degli Studi di Pavia

A.A. 2013-2014

88 pagine

Appunto

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Estratto del documento

Ripasso

I y² ≤ x² ⇒ |y| ≤ |x| y ≤ xy ≤ -x-y ≤ x ⇒ y ≥ -x

Nel I quadrante vale y ≥ x

II A = {1, 2, 3}

B = {x ∈ ℝ: 2 A ∩ B = {1, 3} = {2, 3}

III o(t) per t → 0 significa lim_t→0 o(t)/t = 0

X ⇒ B allora B ⇒ A non A ⇒ non B non B ⇒ non A

Ripasso I

y² x² ⇒ y ≥ xy ≤ x-y ≥ x-y ≤ x

Nel I quadrante val ò y ≥ x

II A = {1, 2, 3}

B = {x ∈ R : 2 A ∩ B = {1, 3}

III o(t) per t → o significa lim_t→o o()/t = o

X A ⇒ B allora B ⇒ A non A ⇒ non B non B ⇒ non A

Fattore

Fattore m = e^m _ln (m⁶) m^m m⁵ m! log (m⁶) _ln m m⁵ e^m(15)

Circonferenza ed ellisse

Circonferenza centro (x₀, y₀) raggio R

Ellisse centro (x₀, y₀) e semiassi a, b

(x - x₀)² + (y - y₀)² = R²

(x - x₀)²_a + (y - y₀)²_b = 1

Serie numeriche

Dato una successione si adenom: a₀, a₁, a₂... si chiama serie ∑a_k = a₀ + a₁ + a₂ + a_n + ...

Converge? - qualitativo

A quanto? - quantitativo

s₀ = a₀

s₁ = a₀ + a₁

s₂ = s₁ + a₂ = a₀ + a₁ + a₂

s₃ = s₂ + a₃

s_n = s_n-1 + a_n

Studiare il comportamento delle serie ∑a_k significa studiare il comportamento delle successione delle somme parziali (risolta) { s_n }^∞_n=0

Definizione

Def. Si dice che la serie ∑a_n puo avere 3 tipi di comportamento

è convergente a un numero ∈ R → significa che lim s_n = s n → +∞

∑ divergnte a +∞, significa che lim s_n = +∞ n → +∞

Analogo per -∞

Esempio

a_k = ¹/_k² converge

a_k = ^-1/_k diverge a -∞

a_k = ¹/_k diverge a +∞

a_k = (-1)^k irregolare

Serie armonica

∑_k=1 ¹/_k = +∞ è la serie armonica

∑_k=1 ¹/_k^p converge se p > 1 diverge a +∞ se p ≤ 1

Serie geometrica

∑_k=0 q^k con q ∈ ℜ

Diverge a +∞ se q ≥ 1
Converge a ¹/_1-q se -1 < q < 1
È irregolare se q ≤ -1

Teorema condizione necessaria per la convergenza

1^a Se Σ_k=0^+∞ a_k converge TS allora lim_k→+∞ a_k = 0

Il viceversa non è vero

È necessario ma non sufficiente

Useremo la controimmagine, cioè

Se lim_k→+∞ a_k non esiste o è diverso da 0 allora la serie Σ_k=0^+∞ a_k non converge

s_n = S_n-1 + a_n

a_n = S_n - S_n-1

lim_n→+∞ a_n = lim_n→+∞ (S_n - S_n-1) = lim_n→+∞ S_n - lim_n→+∞ S_n-1 = S - S = 0

Resto di una serie convergente

Se Σ_k=0^+∞ a_k converge

Definiamo r_n = Σ_k=n^+∞ a_k = a_n + a_n+1 + ... (è una serie)

S = Σ_k=0^+∞ a_k = Σ_k=0^n-1 a_k + Σ_k=n^+∞ a_k

Σ_k=0^+∞ a_k = a₀ + a₁ + ... + a_n + r_n

Teorema

Per una serie convergente si ha che lim _n→∞ a_n = 0

Serie a termini positivi e criteri di studio

a_n > 0 ∀k confronti confronto asintotico a radice a rapporto

Serie a segni alterni

a_k = (-1)^k b_k con b_k assolutamente positivo ∀k Leibniz

Altri ca

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