Una introduzione alle superfici minime

Una introduzione alle superfici minime

Luca Lussardi

1 Introduzione

Oggetto di questa breve nota vuole essere una breve introduzione alla teoria geometrico-differenziale delle superfici minime.

Il termine fu introdotto dal matematico Lagrange nel 1760,

superficie minima

per designare quelle superfici che sono soluzioni di un problema variazionale, e più precisamente punti critici del funzionale dell’area. La definizione originaria di superficie minima è dunque quella di superficie che rende stazionaria l’area rispetto a variazioni della superficie stessa.

Nel 1776 Meusnier provò che la definizione di superficie minima di Lagrange equivale ad una definizione più geometrica, ovvero equivale a richiedere che la superficie abbia in ogni suo punto curvatura media nulla. La teoria delle superfici minime si è poi sviluppata a partire dal 1850, anno in cui il fisico belga Plateau pose il problema che porta oggi il suo nome: provare che per ogni

3

C S C Una versione del

curva chiusa in esiste una superficie di area minima che ha come bordo.

R

problema di Plateau fu risolto da Douglas e Radò nel 1930; ulteriori generalizzazioni del problema di Plateau (capire cosa il problema intende come soluzione fa parte del problema stesso) hanno portato alla creazione di recenti e feconde branche dell’Analisi Matematica, quali la Teoria geometrica della misura, fusione perfetta tra Geometria differenziale e Calcolo delle variazioni, che fece il suo ingresso in Matematica a partire dai lavori di Ennio DeGiorgi e della sua scuola.

Lo scopo di questa nota è quello di illustrare anzitutto come le definizioni di superficie minima di Lagrange e Meusnier siano equivalenti, e di costruire successivamente esempi non banali basati su ulteriori proprietà delle superfici minime stesse.

2 Richiami di Geometria differenziale della superficie

In questa sezione forniamo qualche cenno, senza dimostrazioni, di teoria della superficie classica in

3 3

; per maggiori dettagli si veda [1]. Un insieme S ⊆ si dice se per ogni p ∈ S

superficie regolare

R R

3 2

esistono un intorno V in ed una mappa suriettiva x : U → V ∩ S, con U aperto in , tale che

R R

• 1) x è differenziabile;
• 2) x è un omeomorfismo; 2 3
• 3) per ogni q ∈ U il differenziale dx : → è iniettivo.

R R

q

In realtà ci metteremo sempre in condizioni di più alta regolarità per x: supporremo sempre che sia data la regolarità sufficiente per i conti che svilupperemo.

Data una superficie regolare S, diciamo che x è una sua parametrizzazione regolare;

con (u, v) ∈ U le del punto p = x(u, v).

coordinate locali

Denotiamo altresì con T S lo ad S in p, dato dallo spazio vettoriale reale di

spazio tangente

p

dimensione 2 generato dai vettori x e x , definiti come

u v ∂x

∂x (u, v), x = (u, v).

x = v

u ∂u ∂v

Oltre allo spazio tangente ha notevole interesse il versore normale alla superficie S, ovvero

x ∧ x

u v

N (p) = (p), p ∈ U.

|x ∧ x |

u v

1 3 2

Risulta quindi ben definita la mappa N : x(U ) → , e più in generale la mappa N : S → S ,

R

2 3 2 2 2

essendo S = {(x, y, z) ∈ : x + y + z = 1}; quest’ultima viene detta mappa di Gauss.

R 2

Osserviamo che T S e T (S ) sono piani paralleli, e quindi possono essere identificati tra loro;

p (p)

N

ne segue che possiamo pensare dN : T S → T S, che quindi opera linearmente su T S come segue:

p p p p

′ ′

data una curva α : (−ε, ε) → S con α(0) = p e α (0) = v, si ha dN (v) = (N ◦ α) (0). La mappa

p p