Geometria IV - Superfici

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Teoria locale delle superfici di R^3: definizione di superficie regolare, funzioni differenziabili tra superfici, piano tangente. Curvature:prima e seconda forma fondamentale, orientabilit …

Esame Geometria IV

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. Ciccoli Nicola

Università Università degli Studi di Perugia

A.A. 2015-2016

70 pagine

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Superfici

Le superfici non si definiscono come funzioni R² → R³ con differenziale iniettivo come le curve, ma come sottoinsiemi A ⊂ R³ molti curvilinei locali. Ci sono delle parti che escludono automaticamente le singolarità, trattandole finitamente superfici regolari.

Definizioni

Def: ∅ ⊆ S ⊆ R³ dove ∀p ∈ S ∃ U_p ⊆ S aperto sottoinsieme intero ∃ V ⊆ R².

Superficie regolare

Φ: U → R³ dice: Φ(U) = V
Φ(U → V) - omeomorfismo
d_qΦ: R² → R¹ iniettiva Φ(q) = p

(U, φ) si dice parametrizzazione locale di S. Φ si dice carta.

Osservazioni

Si valuta solo l, 2, 3. S si dice superficie analitica. U ∈ R² può essere connesso o meno indissolubilmente.

Esempio

Vediamo il significato geometrico: La 3) vuol dire che le trasformate delle curve in rettangoli da linearità indipendenti. Una superficie regolare non può menar trattare una bocca. Omeomorfismo non è un ciclo esterno. Una superficie regolare, non avviene automaticamente poche. Ricorriamo agli idea di un'immersione non ha mica un potestato ad un rectoad R² (R-2) S ∃ un prezzo regione non ancora. ∈ V ← S

Una superficie regolare W ⊂ R³ può essere vista come un sottoinsieme di R³ 2 cpt panta sta nell'unione a una carta S ⊆ R³ ∀p ∈ Spci(pq) α Y_e U_x ⊃ V_x

Atlante

Enumizione delle carte Y e S dice Atlante. Qualsiasi α : S=U_p∩pAd α C L r esempio ci sarà S ∀ p n, SL' e l'unione diventano parti ridanno l'immagine delle cinture lì è un atlante.

Superfici oss

Le superfici non si definiscono come funzione R² → R³ con differenziale invertibile come le curve ma come sottoinsiemi di R³ molto coerente come fatto del piano con alcune aggiunte che escludono automaticamente le singolarità (trattandole praticamente superfici "neonive").

Definizione

Def: ƒ ⊂ R³ dove V ⊕ S ⊂ R³ c'è V ⊕ S' aperto. Superficie regolare → (con top. Euclidea su S)

Parametrizzazioni locali di S

U, V P parametrizzazione locale di S. P si dice carta.
ƒ(U) = V
ƒ(U →²) * c φ=φ(U)
dφ:P → R²

OSS: S' è vietato solo 1, 2, 3 U ⊕ R può essere connesso o meno indissolubilmente.

(VEDONO IL SIGNIFICATO GEOMETRICO, la 3) per dire che le trasformazioni delle carte φesting non sono linearmente indipendenti. Una superficie regolare non più neanche trattate universalmente. In ogni caso è detto Euclideo Cartesio.

Una superficie rellegione non è avente automaticamente poche vogliono alcuni linee di autovettori navino nulla di costretto ad una. Stante √ perché abbiamo D -- D' est accordo S -- dφ = ...

Una superficie regolare R vivendo in BR² può essere vista come un sottoinsieme di DR² e ogni punto sta nella l'unione con una carta. All' S' essere φ(o) posso volo ...

L'unione delle carte φ, S si dice atlante L: S ⊕ σ_w(U_p).

Se (main) (in m), esisti il while ... ψ(U) è un intorno coordinato della superficie S regolare. Esiste, vediamo i paralleli sulla Terra. Chiamando la derivata 3. dφ|ₚ ℝ² → ℝ ³ applicazione lineare con φ(₀₊₁ ̲) ↔ₚ (x,y) → ̲J(φ(x)). J (αₗ,α₂,α₃) ∂ᵢψ(₁₂). dφ(αʲ₂α₂,α₃,αʲ₂₃).

dφ è iniettiva ⟺ rango 1=2 Dφ2dφ₁ sono un indipendente unitate w 9. Nota che le colonne sono vettore tangente delle curve coordinate. Un controllare 2.

A è punto di V ⟹⊉ punto di ᵇ. Una superficie relucare è sempre una superficie relucare connessa con polité, se S non è connessa, V esiste componente connessa ma connessa non violando NP violare.

Esula I = a×by+cz+d=0 un piano wℝ ³. Superficie C≠0 ⟹ z=ax+by+d. Ponci U=ℝ²

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