Analisi 2: superfici

Superfici

Def. Un insieme D ⊂ ℝ² si dice dominio connesso se e solo se la chiusura di un aperto connesso è limitato.

Def. Una funzione continua ψ: D -> ℝ³ dove D ⊂ ℝ² è dominio connesso si chiama superficie. L'insieme φ (D) ⊂ ℝ³ si chiama sostegno della superficie.

Notazione

φ(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))

Le componenti di φ = x(u,v)i + y(u,v)j + z(u,v)k

Esempi di superfici

• Superfici cartesiane. Dato f: D -> ℝ continua si chiama superficie cartesiana associata a f lo spazio φ(u,v) = (u,v,f(u,v))
• Superfici di rotazione. Dato curva piana f(u) = (x(u),z(u)) u ∊ [a,b]. Definiamo la superficie di rotazione con generatrice f φ(u,v) = ((x(u)cosv), x(u)senv, z(u)) v ∊ [0,2π]

Casi particolari

σ Sfera di raggio R

f(u) = (Rsenu, Rcosu) u ∊ [0,π]

φ(u,v) = (Rsenucosv, Rsenusenv, Rcosu) v ∊ [0,2π]

Superfici

Def. Un insieme D ⊂ ℝ² si dice dominio connesso se e solo se la chiusura di un aperto connesso è limitato.

Def. Una funzione continua ψ: D→ℝ³ dove D ⊂ ℝ² e dominio connesso si chiama superficie. L'immagine Ψ(D) ⊂ ℝ³ si chiama sostegno della superficie.

Notazione

φ(u,v) = [ x(u,v), y(u,v), z(u,v) ] → i componenti di φ

x = x(u,v) i

y = y(u,v) j

z = z(u,v) k

Esempi di superficie

• Superfici cartesiane. Dato F: D→ℝ continua si chiama superficie cartesiana associata a φ la sup. F(u,v) = ( u, v, F(u,v) )
• Superfici di rotazione. Dato circo piano f(u) = ( x(u), z(u) ), u ∈ [a,b] Deflasica la superficie di rotazione con generatrice f (u,v) = ( x(u)cosv, x(u)sinv, z(u) ), v ∈ [0,2π]

Casi particolari

• Sfera di raggio R f(u) = ( Rcosu, Rcosu ) u ∈ [0,π] → semicussoffe elutzo ruoto attorno a z φ(u,v) = ( Rsenucosv, Rsenusenv, Rcosu ) (u,v) ∈ [0,π] x [0,2π]

Tradizionalmente (u=ψ) (v=θ) _{[ co-latitudine longitudine ]}

b. Cilindro di raggio R>0 e altezza h _r(u)=(R,u) u∈[0,h] _ψ(u,v)=(Rcosv,Rsen v,u) (u,v)∈[0,h]x[0,2π]

c. Toro (doughnut) _r(u)=(R+rsenu, rcosu) u∈[0,2π] ↟ circonferenza che ruota attorno a z _ψ(u,v)=(R+rsenu)cosv, (R+rsenu)sinv rcosu)

d. Cono a due falde _r(u)=(u,inu) m>0 u∈[-1,1] _ψ(u,v)=(ucosv, usenv, inu)

Nota bene

Con un lieve abuso di linguaggio spesso il sostegno della superficie viene chiamato esso stesso superficie, mentre a funzione ϕ si dice parametrizzazione della superficie

Superfici regolari

Def. Una sup φ si dice semplice se φ è iniettiva

Supp => intorno a D

Def. Una sup φ si dice regolare se:

• φ è CI' (InA), ossia ∃A⊂D aperto: φ ∈ CI'(A)
• φ è semplice
• ∀(u₀,v₀) ∈ A vale ψ(u₀,v₀) ∧ φ(u₀,v₀)≠0

Osservazione

In condizione B è equivalente a chiedere che la Jacobiana J_ψ(u₀,v₀) ha {coro 2.} ∀(u₀,v₀) ∈ A. Infatti:

φ(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))

J_ψ(u₀,v₀) = x_u(u₀,v₀), x_v(u₀,v₀) y_u(u₀,v₀), y_v(u₀,v₀) z_u(u₀,v₀), z_v(u₀,v₀)

Essa ha {coro 2} se e solo se almeno una fra |x_u x_v| |y_u y_v| |z_u z_v| ha determinante ≠0

A ≡ x_uy_v-x_vy_u

B ≡ x_uz_v-x_vz_u

C ≡ y_uz_v-y_vz_u

⟹ almeno uno fra a, b, o c ≠0

|φ_u^ φ_v (u₀,v₀)| = |i j k| |x_u y_u z_u| |x_v y_v z_v|

⟹(x_uz_v-z_vx_u)i - (x_uz_v-z_vx_u)j + (-x_vy_u+y_vx_u)k

K(x_uz_v-y_ux_v) = (C,-B,A) ≠0 - se e solo se almeno uno ≠0

Versore normale e piano tangente

Def. Sia φ : D ⊂ ℝ² → ℝ³ superficie regolare.

In particolare φ_u ∧ φ_v (u₀, v₀) ≠ 0 ∀ (u₀, v₀) ∈ D.

Si definisce versore normale alla superficie nel punto P₀ = φ (u₀, v₀) ∈ ℝ³ (dove (u₀, v₀) ∈ D) il versore

N (P₀) = φ_u ∧ φ_v (u₀, v₀) ──────────────────────────── ||φ_u ∧ φ_v (u₀, v₀)||

Si definisce piano tangente alla superficie nel punto P₀ = φ (u₀, v₀) (dove (u₀, v₀) ∈ D) il piano

<X - φ (u₀, v₀), φ_u ∧ φ_v (u₀, v₀)> = 0

Integrale di superficie

Def. Sia D ⊂ ℝ² dominio connesso regolare (D è dominio connesso e ∂D è dominio regolare).

In particolare, D = ∪D_i con D_i sia 1-semplice sia γ-semplice e i D_i si intersecano al più lungo il bordo.

: φ : D → ℝ³ superficie regolare con sostegno: Σ = φ (in): sia F : Σ → ℝ continua

Si dice integrale su superficie di F su φ

∬_γ F dΣ = ∬_D F (φ (u, v)) || φ_u ∧ φ_v || du dv

Σ irraggibile doppio

Esempio

φ (u, v) = (2 sen v cos u, 2 sen v sin u, 2 cos v)

u ∈ [0, π/2] v ∈ [0, 2π]

Semisfero di raggio 2

E(u,v) = x²z

D = [0, π/2] x [0, 2π]

E(φ(u,v)) = 4sen²u cos²v 2cosu

||φ_u ∧ φ_v|| = 4sen

∬_D E dσ = ∬_D 4sen²u cos²v 2cosu 4senu du dv

= 32 ∬_D sen³u cos²v cosu du dv = 8π

Esempio notevole - superfici cartesiane

φ_z(u,v) ≡ (u,v,g(u,v))

∬_D E dσ = ∬_D E(u,v,g(u,v))√{1 + [∇_φ(u,v)]²} du dv

Def. Si chiama area di φ

A(φ) = ∬_D dσ = ∬_D ||φ_u ∧ φ_v|| du dv

Esempio

Calcolare area della sfera di raggio R>0

||φ_u ∧ φ_v|| = R² Senu D = [0, π] x [0, 2π]

A(φ) = ∬_D R² senu du dv = 2π ∫₀^π R² senu du = 2πR²

Flusso di un campo vettoriale

Orientazione

u v sono ortonormali alla superficie

Lo scelto di uno dei due corrisponde a ጀņጀ normali opposte od un'altra => doppio sentido = non posso scegliere una superficie pulviscoja non orientabile

Def. Una sup Ψ si dice orientabile se esiste una lenta continua di vettore normale su intera Z di Ψ Tale scelta si dice orientazione della superficie (ce ne sono due: +|u|, -|u|) quella corrispondente a +|u| si chiama orientazione indotta dalla superficie.

Superfici cartesiane sono orientabili.

Sfera eculidea, Toro, cono, ... sono orientabili.

Nastro di Moebius & bottiglia di klein non sono orientabili.

Def. Sia D ⊂ R² dominio connesso regolare, Ψ ha ⊂ Δ R³ superficie regolare orientabile Σ = φ(D) si dice A ⊂ R³ aperto Δ → Σ e ξ : A → R³ campo vettoriale continuo si dice flusso di F ottenuto φ

∫∫(ξ ξ ξ) &sw; δ ≡ ∫∫ξ(φ(u1), φ(u2), φ(u3)) du1

Def. Data Ω ⊂ R³ tale che ∂Ω è esterna di una superficie regolare orientabile è con vettore normale &hum; si parla di vettore normale esterno o interno. Normale esterna → flusso uscente. Normale entwente → flusso entranto.

Teorema di Stokes

Teorema di Stokes (dei Rotore)

Def. D ⊂ R² dominio connesso regolare φ D ⊂ R³ si dice superficie regolare con bordo sei:

• φ ∈ C¹⁰(D)
• φ &exists; interno su D
• φ_u × φ_v ≠ 0 ∃ u, v ∈ D

Osservazione: sup reg con bordo → Sup reg.

Si puà dimostrare che ogni superficie regolare con bordo è orientabile.

Def. Data una superficie regolare con bordo ϕ: D → ℝ³ si dice bordo di ϕ l’insieme ϕ(∂D)

Soppniamo D = ∪ ᅀᵢ; dove ᅀᵢ è sostegno di una curva semplice chiusa e regolare a tratti ϑᵢ. La funzione ᅀᵢ: [0,1] è una curva nello spazio regolare a tratti: il valore dei sostegni delle ᅀᵢ coincide con il bordo di ϕ.

Il bordo di ϕ è orientato positivamente se percorrendo ciascuna ᅀᵢ stando in piedi sulla superficie, lascia la sua a sinistra.

Notazione

ϕ: D → ℝ³ suo reg con bordo. Sia A ⊂ ℝ³ aperto A ⊃ ∑ = ϕ(D) scelgo come orientazione quella indotta da ϕ dedotta un campo vettoriale F: A → ℝ³ con funzioni continue parziali.

∮ F dᅀ = ∑ ∬ ∇ × F df +∂∑ dove ᅀᵢ = ϕ ∘ ᅀᵢ e chiusura ᅀᵢ è orientata positivamente.

Teorema di Stokes

Sia ϕ: D → ℝ³ una superficie regolare con bordo, sia A ⊂ ℝ³ aperto A ⊃ ∑ = ϕ(D) e loe F: A → ℝ³ un campo vettoriale di classe C¹(A). Scelgo come orientazione quella indotta da ϕ.

Allora

∯ (rot F) xyz dσ = ∫∑ ∇ × F df +∂∑

Il teorema di Stokes vale per una classe più operativa di superfici: per esempio le superfici regolari orientabili che sono decomponibili in un numero finito di superfici regolari con bordo.

Applicazione fisica

La legge di Neumann dell'elettromagnetismo afferma che un campo magnetico è variabile nel tempo induce un campo elettrico Ξ tale che:

_{-∮Σ ξ • dl = ∬Σ (∂Β/∂t) • dσ}

→ per f. di Stokes

_{-∮Σ ξ • dl = ∬Σ (rot Ξ • n) dσ}

→ _{⎧∬Σ (rot Ξ • n + ∂Β/∂t) dσ = 0} ∀ Σ

→ _{-∂Β/∂t = rot Ξ}

Terza equazione di Maxwell

Teorema della divergenza

Notazione

ω ⊂ Rⁿ tale che ∂ω si sostiene di un sup. omega disegnabile

e.s. ∂ω = Σ ⊂ R³ con D dominio connesso regolare. Detto A ⊂ R³ aperto: A ⊂ ω e dato u = f R³ come vettoriale continuo pone:

_{∬Σ E l • dσ = ∬Σ S E v dσ}

dove Je è il vettore normale esterno a ∂ω

Teorema della divergenza

∀ω ⊂ R³ x-abile ∂t-ندما de superficie di A sup. set آمردوز supreme disegnabile: ω = D ⊂ R³ con D dominio connesso regolare

Det A ⊂ R³ aperto: B ⊂ ♎ dove ⊂ ω → B³ come vettoriale di densità ها (n) dove

_{∭ω div Ξ (x,y,z) dxdy = ∬Σ Ξ E v dσ}