Tutto sugli asintoti: rettilinei e curvilinei

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Asintoti curvilinei

Asintoti rettilinei

Una funzione algebrica o trascendente y=f(x) ha un asintoto obliquo quando sono finiti i limiti:

lim_{x → ∞} [f(x) / x] = m

lim_{x → ∞} [f(x) − mx] = q

E l’equazione dell’asintoto è y=mx+q.

Per le funzioni algebriche razionali fratte (cioè quelle costituite dal rapporto fra due polinomi), ciò significa che una funzione del tipo y=f(x)/g(x) (con il numeratore di grado n ed il denominatore di grado d) ammette l’esistenza di un asintoto obliquo quando n-d=1, cioè quando il numeratore è un polinomio di un grado superiore al grado del polinomio a denominatore.

Fin qui la teoria degli asintoti che è generalmente nota a tutti.

Vediamo ora cosa avviene se una funzione algebrica razionale fratta y=f(x)/g(x) ha il numeratore di 2, 3 o più gradi superiore al grado del denominatore, cioè se n-d=2, n-d=3 ecc.

Asintoti parabolici

Nel caso in cui n-d=2 si ha (con evidente generalizzazione del criterio precedente):

lim_{x → ∞} [f(x) / x²] = a

lim_{x → ∞} [f(x)/x − ax] = b

lim_{x → ∞} [f(x) − ax² − bx] = c

e l’asintoto è una parabola con equazione:

y=ax²+bx+c

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Asintoti cubici

Nel caso in cui sia invece n-d=3 si ha in modo analogo:

lim_{x → ∞} [f(x) / x³] = a

lim_{x → ∞} [f(x)/x² − ax] = b

lim_{x → ∞} [f(x)/x − ax² − bx] = c

lim_{x → ∞} [f(x) − ax³ − bx² − cx] = d

e l’asintoto è una cubica di equazione:

y=ax³+bx²+cx+d

e così via per valori maggiori di n-d.

Esempio n. 1

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Esempio n. 2

Esempio n. 3

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Esempio n. 4

Esempio n. 5

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Esempio n. 6