Asintoti di una funzione

ASINTOTI DI UNA FUNZIONE

Definizione:

Il termine asintoto è utilizzato in matematica per denotare una retta che si

avvicina indefinitamente alla funzione senza mai toccarla, per questo si dice anche

che l'asintoto è la tangente all'infinito della funzione.

Possiamo classificare tre tipi di asintoti:

Asintoti Verticali

x = c y f (x)

Si dice che la retta è un asintoto verticale per la funzione = se esiste

c

un punto singolare (punto di accumulazione escluso dal dominio) in cui :

 

lim f x

( ) oppure





x c  

lim f x

( )





x c

La curva si accosta sempre più ad una retta di

x=c c

equazione , pertanto è il valore (se

esiste) da determinare. Per quanto detto una

funzione che non ha punti singolari non può

avere asintoti verticali. 16

Asintoti Orizzontali

Si dice che la retta y = k è un asintoto orizzontale per la funzione y =f (x) in un

insieme illimitato se si verifica una delle seguenti condizioni:

 

lim lim

f x k f x k

( ) ( )

oppure

 

x x

k è un numero reale. La curva si accosta sempre più ad una retta di equazione

y=k k.

,e per conoscere la retta occorre determinare

Se si effettua il limite per x tendente verso − si parla di Asintoto Orizzontale

Sinistro (A.O.S.), se si effettua il limite per x tendente verso + si parla di

Asintoto Orizzontale Destro (A.O.D.). I due asintoti possono coincidere (A.O.).

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Asintoti Obliqui

Data una funzione y=f(x) in un insieme illimitato se calcolato il limite per x che

tende ad infinito si verifica  

lim f x

( )



x

Può esistere un asintoto obliquo.

Esiste un asintoto obliquo se il grafico della

funzione si accosta (quando x tende a più o

meno infinito) a quello di una retta di

equazione y=mx+q (dove m ≠0, altrimenti si

tratterebbe di un asintoto orizzontale). Bisogna

quindi determinare i valori m (coefficiente

angolare) e q (ordinata all’origine).

f x

( )

 lim

m m m

Si ha con ∈ ℜ e ≠ 0 (ovvero un numero reale

x



x 18