Turbomacchine Esercizi

1. Flusso incomprimibile laminare su una lamina piana

Per il flusso incomprimibile laminare su una lamina piana con gradiente di pressione nullo, usando l'equazione integrale dello strato limite e un profilo di velocità cubico, u = αy + βy³, verificare che vale la seguente relazione per lo spessore dello strato limite, δ/x = 4.64/√Re_....

Poiché il gradiente di pressione dp/dx = 0, la risolviamo con il metodo di Polhausen e semplificato.

Il nostro profilo di velocità è il seguente: u = αy + βy³ ⇔ η = χ(μ + βy³) dove η = y/d(x).

Le condizioni al contorno sono:

1. η = 0 ⇔ μ/U = 0
2. η = 1 ⇔ μ/U = 1
3. η = 1 ⇔ (∂u/∂y)_η=1 = 0

La 1) è identicamente soddisfatta.

1. α + β = 1

3. ∂u/∂y = U・∂(μ/U)/∂η = U・1/d(x)(α + 3β η²)

⇔ (∂u/∂y)_η=1 = 0 ⇔ U/d(x)(α + 3β) = 0

{α + β = 1
U/d(x)(α + 3β) = 0
⇔ {α = 1-β
U/d(x)(1 - β + 3β) = 0
⇔ {α = 1 - β
U/d(x)(1 + 2β) = 0}
⇔ {α = 1 - β
U/d(x)(α + 3β) = 0}
⇔ {α = 1 + 1/2
β = -1/2}
⇔ {α = 3/2
β = -1/2}

Avremo quindi il seguente profilo di velocità adimensionalizzato: μ/U = 3/2 η - 1/2 η³

1. Flusso incomprimibile laminare su una lamina piana

Per il flusso incomprimibile laminare su una lamina piana con gradiente di pressione nullo, usando l'equazione integrale dello strato limite e un profilo di velocità cubico, u = αy + βy³, verificare che vale la seguente relazione per lo spessore dello strato limite, δ/x = 4.64/√Re_x.

Poiché il gradiente di pressione dp/dx = 0 la risolviamo con il metodo di Polhausen e semplificato.

Il nostro profilo di velocità è il seguente: u = x y + βy³ -> u/U = x(η + β η³) dove η = y/d(x).

Le condizioni al contorno sono:

1. η = 0 -> u/U = 0
2. η = 1 -> u/U = 1
3. η = 1 -> ∂u/∂y|_{η = 0} = 0

La 1) è identicamente soddisfatta.

1) 1 = α + β

3) ∂u/∂y = U (∂y/U) ∂η/∂y = U 1/d(x) (α + 3β η²) -> ∂u/∂y|_{η = 1} = 0 -> U/d(x) (α + 3β) = 0

α + β = 1
U/d(x) (α + 3β) = 0 -> U/d(x) (1 - β + 3β) = 0 ->
α = 1 - β     α = 1 - β
1 + 2β = 0
α = 1 - β -> α = 1 - β -> α = 1 - β
1 + 2β = 0
β = -1/2 -> β = -1/2
β = -1/2

Avremo quindi il seguente profilo di velocità adimensionalizzato: zato: u/U = 3/2 η - 1/2 η³

Calcolo delle grandezze adimensionali

A questo punto è possibile calcolare le grandezze adimensionali:

S₁

S₁/δ = ∫₀¹ (1 - η) dη - ∫₀¹ (1 - ³/₂ η + ¹/₂ η³) dη = = [ - ³/₄ η² + ¹/₈ η⁴ ]₀¹ = 1 - ³/₄ + ¹/₈ = ⁸/₈ - ⁶/₈ + ¹/₈ = ³/₈

S₂

S₂/δ = ∫₀¹ μ/U (1 - μ/U) dη = ∫₀¹ (³/₂ η - ¹/₂ η³) (1 - ³/₂ η + ¹/₂ η³) dη = = ∫₀¹ (³/₂ η - ¹/₂ η³) dη - ∫₀¹ (³/₂ η - ¹/₂ η³)² dη = = ∫₀¹ (³/₂ η - ¹/₂ η³) dη - ∫₀¹ (⁹/₄ η² - ³/₂ η⁴ + ¹/₄ η⁶) dη = = [ ³/₄ η² - ¹/₈ η⁴ - η³/₁₂ + ³/₁₀ η⁵ - ¹/₂₈ η⁷ ]₀¹ = = ³/₄ - ¹/₈ - ⁹/₁₂ + ³/₁₀ - ¹/₂₈ = ³⁵ + ⁸⁴ - ¹⁰ / ₂₈₀ = ³⁹/₂₈₀

Equazione integrale di Von Karman

Consideriamo l'equazione integrale di Von Karman: U² dS₂ / dx = τ₀ / ρ , per definizione τ₀ = μ ∂u/∂y|_y=0

∂u/∂y|_y=0 = U/δ S₁ (α + 3βS₁/δ)= ³/₂ V/δ(x)

Mettiamo a sistema:

V² _dδ/_dx = τ₀/ρ = 0
τ₀ = μ_U/δ ^3/2 = 0
=> U³/280_dδ/dx = μ/δ ^3/2 = 0
=> _dδ/dx = ν₃/U² = 0
=> ∫_dδ= ν/U₁₄₀