Turbolenza - 6

Flussi paradigmatici

Tramite le RANS andremo a studiare la turbolenza a parete, non riusciremo a risolverle, ma ci daranno delle indicazioni molto importanti.

Turbolenza a parete: canale turbolento

Canale turbolento è un flusso che si crea tra due lastre piane.

È una problematica semplificata perché in direzione x e z abbiamo un'estensione infinita, quindi non ho effetti di bordo.

Quindi possiamo dire che avremo un equilibrio, cioè avrò un flusso completamente sviluppato, questo ci semplifica l’equazione con: d/dt = 0.

Siccome è infinitamente esteso in z: d/dz = 0.

Per avere un flusso in questo canale devo avere un gradiente di pressione, quello che fa la pompa in una condotta, quindi avrò: dP/dx ≠ 0.

Facile teoricamente, perché mi semplifica molti termini, ma difficile da realizzare nella realtà.

Tramite le RANS andremo a studiare la turbolenza a parete, non riusciremo a risolverle, ma ci daranno delle indicazioni molto importanti.

Turbolenza a parete: canale turbolento

Canale turbolento è un flusso che si crea tra due lastre piane.

È una problematica semplificata perché in direzione x e z abbiamo un'estensione infinita, quindi non ho effetti di bordo.

Quindi possiamo dire che avremo un equilibrio, cioè avrò un flusso completamente sviluppato, questo ci semplifica l'equazione con: ▭² / x_t = 0.

Siccome è infinitamente esteso in z: ▭² / x_z = 0.

Per avere un flusso in questo canale devo avere un gradiente di pressione, quello che fa la pompa in una condotta, quindi avrò: ▭² / x_p ≠ 0.

Facile teoricamente, perché mi semplifica molti termini, ma difficile da realizzare nella realtà.

Turbolenza in un tubo

Flusso in una tubazione infinitamente estesa

• Per definizione θ è una direzione omogenea.
• Flusso completamente sviluppato.
• Gradiente di pressione per avere il flusso.

Flusso su lastra piana

Questo è l'unico flusso che studia lo strato limite, negli altri due casi ho un flusso in una condotta, che dopo un determinato tempo sarà totalmente turbolento dappertutto.

• Lastra piana infinitamente estesa.
• Il flusso può avvenire anche con il gradiente di pressione nullo.

Ho la formazione dello strato limite, quindi le statistiche in x varieranno.

Quindi studiamo questi flussi considerando i parametri più importanti secondo le RANS, cioè il flusso medio (U) e le fluttuazioni ⟨u_i; u_j⟩.

Andamento della velocità media

Andamento della velocità media U nelle coordinate normali alle diverse pareti, normalizzate.

I rappresenta il centro delle due diverse condotte oppure la fine dello strato limite.

⟨u_i; u_j⟩.

Questo scenario vale per tutti e 3 i tipi di flusso.

Questo scenario vale per tutti e 3 i tipi di flusso.

In grigio sarà l'andamento finale del flusso a parete perché fuori dallo strato limite ho flusso laminare che non ha fluttuazioni.

Aumentando Re i profili non cambieranno molto, quello che succede è che aumentando Re avrò un aumento del gradiente di velocità a parete, quindi i profili disegnati prima avranno i picchi più spostati verso sinistra.

Lo schiacciamento verso la parete, per lo studio dello strato limite è un problema perché il picco di fluttuazione sta molto vicino alla parete, così tanto vicino che non riesco a misurarlo.

RANS per il canale turbolento

Andiamo a scrivere le RANS per il canale turbolento:

_{∂Ui / ∂xi} = 0

_{∂Ui / ∂t + ∂UiUj / ∂xj = -1/ρ ∂P / ∂xi + ν ∂²Ui / ∂xj∂xj - ∂/∂xj 〈uiuj〉}

1ª Equazione

∂u/∂x + ∂v/∂y + ∂w/∂z = 0.

Per le condizioni al contorno nel canale ho: ∂/∂z = 0, infinitamente esteso in z.

∂/∂x = 0 (lo anche w=0) (infinitamente esteso in x e flusso completamente sviluppato).

=> ∂v/∂y = 0 => dV/dy = 0 => V(y) - V(0) = 0.

Velocità a parete è nulla.

V = 0.

Velocità verticale (normale alla parete) è nulla.

2ª Equazione

Consideriamo la velocità verticale V e quindi i=2.

∂Vi/∂t + ∂ViUj/∂xj = -1/ρ ∂P/∂yi + ν ∂²Ui/∂xj∂xj - ∂/∂xj < UiUj >.

=> ∂V/∂t + ∂V/∂x + ∂V/∂y + ∂V/∂z = -1/ρ ∂P/∂y + ν (∂²/∂x² + ∂²/∂y² + ∂²/∂z²) - ∂/∂x < uv > - ∂/∂y < v² > - ∂/∂z <