Turbolenza - 2

Notazione indiciale e energia cinetica

Nella notazione indiciale/di Einstein, la divergenza di un tensore, sarà un vettore e viene scritta come: [₂u₁¹) + (2u₁₂) + (2u₁₃)][₂u₂¹) + (2u₂₂) + (2u₂₃)][₂u₃¹) + (2u₃₂) + (2u₃₃)]+ 2 [₂u₂¹) + 2u₂₂) + 2 (2u₂₃)]

Riprendendo la scrittura di energia cinetica fatta in precedenza, e notando le 4 divergenze, possiamo scrivere: + 2_k^t k u_j = 1 / p - 2 [_k| ρu_{j uxi}+ Lj+ 2_k2 _k [₂u_j - 2_uxiuj + fu._i[₂u_j - 2_uLj fu i con: j, = -ku - pfu,÷ rappresentano i fenomeni di trasporto dell'energia cinetica ψ flusso di energia cinetica linee di livello livello alto di energia cinetica spostamento di energia cinetica, da livelli alti a livelli bassi.

Nel caso del 2° termine (equazione iniziale dell'energia cinetica), sarà trasportata dal gradiente della velocità, più è grande il gradiente più sarà grande il trasporto.

Divergenza di un tensore

Nella notazione indiciale di Einstein, la divergenza di un tensore, sarà un vettore e viene scritta come: ^∂/_∂xj [| (^∂u₁/_∂x1), (^∂u₁/_∂x2), (^∂u₁/_∂x3) || (^∂u₂/_∂x1), (^∂u₂/_∂x2), (^∂u₂/_∂x3) || (^∂u₃/_∂x1), (^∂u₃/_∂x2), (^∂u₃/_∂x3) |]

Scrittura dell'energia cinetica

Riprendendo la scrittura di energia cinetica fatta in precedenza, e notando le 4 divergenze, possiamo scrivere: ^∂k/_∂t + ^∂/_∂xj ku_j = - ¹/_⍴ ^∂p/_∂xi - ⍴ ^∂k/_∂xj - ^∂u_i/_∂xj ^∂u_i/_∂xj + f_i u_i → ^∂k/_∂t = ^∂Ψ_j/_∂xj - ⍴ ^∂u_i/_∂xj ^∂u_i/_∂xj + f_i u_i

Con: Ψ_j = -ku_j -⍴ pu_i + ⍴^∂k/_∂xj flusso di energia cinetica.

Nel caso del 2° termine (equazione iniziale dell' energia cinetica), sarà trasportata dal gradiente della velocità, più è grande il gradiente più sarà grande il trasporto.

Nel caso del 3° termine sarà trasportata dal gradiente della velocità più la pressione.

Per il 4° termine sarà trasportata dalla viscosità.

Integrazione dell'equazione iniziale

Andiamo ad integrare l'equazione iniziale, perché così andiamo a vedere il contenuto dell'insieme turbolento: ∫_V ∂k/∂t dV = -∫_V ∂k u_i/∂x_i dV - ∫_V 1/ρ ∂p u_i/∂x_i dV + ∫_V ν ∂²k/∂x_j∂x_j dV - ∫_V ν ∂u_i u_j/∂x_j dV + ∫_V f_i ∂u_i dV

Termini dell'equazione

1° termine:

Posso portare fuori la variabile di integrazione parziale non essendo una variabile di integrazione: ∫_V ∂k/∂t dV = d/dt ∫_V k dV

2°/3°/4° termini:

Tutti e 3 sono divergenze di un flusso, utilizzando il Teorema di Gauss della divergenza: ∫_V ∂/∂x_j dV = ∫_∂V u_i n̂_j ds

Nel nostro caso: -∫_V ∂k u_i/∂x_i dV - ∫_V 1/ρ ∂p u_i/∂x_i dV + ∫_V ν ∂²k/∂x_j∂x_j dV = ∫_∂V -(k u_i - 1/ρ p u_i δ_ij + ν ∂k/∂x_i) n̂_j ds

∂V → superficie che contorna il volume V.

Per la divergenza di x_i dobbiamo inserire il Delta di Kronecher perché sarebbe: ∫_V 1/ρ ∂ρx_i / ∂x_i dV = -∫_∂V 1/ρ ρx_i n_i dS

Ma negli altri termini ho l'indice j, quindi inserisco il Delta di Kronecher: