Turbolenza

Il significato di turbolenza

Il significato di turbolenza in greco/latino: ε, ν, ρ, β, η ⇒ Fenomeno caotico (turba).

In fluidodinamica il flusso turbolento è governato dal caos.

(Video)

La maggior parte degli strati limite che si hanno nella realtà, sono strati limite turbolenti.

Turbolenza

È un fenomeno randomico e caotico, è un fenomeno che caratterizza il flusso, non il fluido (esempio opposto è la viscosità).

Randomico ⇒ Non si può sapere prima della prova la velocità in un determinato punto.

Caotico ⇒ Fenomeno molto sensibile alle condizioni iniziali e condizioni al bordo.

Abbiamo difficoltà nel definire se siamo in un flusso laminare o turbolento, quindi andiamo a definire delle proprietà, che ci aiuteranno a caratterizzare il flusso turbolento:

Il significato di Turbolenza in greco/latino:

Fenomeno caotico (turba).

In fluidodinamica il flusso turbolento è governato dal caos.

La maggior parte degli strati limite che si hanno nella realtà, sono strati limite turbolenti.

Turbolenza

È un fenomeno randomico e caotico, è un fenomeno che caratterizza il flusso, non il fluido (esempio opposto è la viscosità).

Randomico - Non si può sapere prima della prova la velocità in un determinato punto.

Caotico - Fenomeno molto sensibile alle condizioni iniziali e condizioni al bordo.

Abbiamo difficoltà nel definire se siamo in un flusso laminare o turbolento, quindi andiamo a definire delle proprietà, che ci aiuteranno a caratterizzare il flusso turbolento:

• Fenomeno 3D e non stazionario.
• Abbiamo il fenomeno del vortex stretching.
• La turbolenza in 2D non esiste, se parliamo di soluzione in 2D, vuol dire che sono soluzioni medie. Per esempio profili di velocità:
  • Forte irregolarità della soluzione.
  • Natura casuale delle realizzazioni.

Se io faccio le prove con le stesse condizioni (velocità e pressione, che impostiamo noi), ma in momenti diversi, non ho gli stessi risultati. Questo è molto strano siccome stiamo utilizzando le equazioni di Navier-Stokes, che non hanno nessuna semplificazione tramite un modello. Si è visto tramite la teoria dei sistemi dinamici non lineari (teoria del caos), che i sistemi non lineari hanno una grossa influenza al variare delle condizioni al bordo e dalle condizioni iniziali, se pur per variazioni di condizioni piccolissime. Quindi diciamo che non abbiamo una realizzazione di soluzioni casuale, ma bensì un’estrazione di condizioni iniziali e condizioni al bordo casuali, siccome le variazioni di condizioni sono così piccole che non le riusciamo a misurare.

Tutta questa casualità non succede nel caso di regime laminare (perché Re è basso e sotto a quello critico).

Un'altra proprietà importante dei sistemi non lineari è che posso avere una fluttuazione locale del risultato (cioè se vado a controllare il valore di un risultato di una prova e poi di un'altra prova, ma nello stesso punto di riferimento, i due risultati saranno diversi), ma se vado a fare una media nel tempo dei risultati trovati nelle singole prove, troverò un valore che sarà uguale.

Questo ci fa capire che quando ho a che fare con la turbolenza devo considerare la statistica.

Infatti useremo la decomposizione di Reynolds:

ū(x,t) = <ū> + (ū - <ω̅>) = Ū + u̅̅'

Fenomeno ad alto Re

3) Fenomeno ad alto Re - A bassi Re i fenomeni non lineari vengono attenuati dagli effetti viscosi.

Turbolenza fenomeno dissipativo e miscelativo

4) Turbolenza Fenomeno Dissipativo e Miscelativo.

Anche se gli effetti viscosi sono superati dal termine avdettivo.

Miscelativo

Camera di combustione

Fumo sigaretta in camera (legge convettiva diffusa)

Facciamo l'esempio del fumo, non considero flussi convettivi:

\_t + _xj = k \_xjxj

Espressione indicativa termine miscelativo

\_t + _xj + \_xk = 0 (stessi indici)

Indici diversi:

_xj = _{x y z}

Tempo caratteristico di diffusione fumo:

T = ^l2/_k

Studiamo un caso più ingegneristico, flusso in un tubo:

Q = ^πR4Δp/_8μL (laminare)

Se impongo:

Δp = 1 Pa

R = 0,5 m

L = 1 m

Q ~ 20 m³/sec

Re = 3·10⁵ → Q ~ 0,25 m²/sec

È un Re turbolento e mi produce una dissipazione di portata uguale a

Diagramma di Moody

Diagramma di Moody

log (f)_laminare turbolento

log (R_e)

f = 64 / R_e (laminare)

1 / √f = -2 log (ε / D / 3,7 + 2,51 / R_e √f) (turbolento)

f → fattore di attrito

Più ε / D è grande più la parete è rugosa.

Tramite l'esempio di una condotta e il diagramma di Moody, abbiamo capito che:

• La turbolenza ha un effetto dissipativo.
• Per Re sufficientemente elevati, qualsiasi parete è rugosa.
• Anomalia dissipativa.
• Carattere multiscala della turbolenza.

Ad un Re sufficientemente elevato il fattore di attrito diventa costante (anomalia dissipativa), il motivo per cui tutte le pareti sono rugose a Re elevati è legato al carattere multiscala.

Anomalia dissipativa

5) Anomalia dissipativa.

Per capire meglio questa proprietà essendo la dissipazione energetica (cinetica), scriviamo l'energia cinetica da Navier-Stokes:

Utilizziamo la forma indiciale per la turbolenza:

(divergenza)

_∂ui/_∂xi = ∂u/_∂x + ∂v/_∂y + ∂w/_∂z

(tensore)

_∂ui/_∂xj: ^{∂u/_∂x∂v/_∂y∂w/_∂z}

_∂vi/_∂xj: ^{∂v/_∂x∂v/_∂y∂v/_∂z}

_∂wi/_∂xj: ^{∂w/_∂x∂w/_∂y∂w/_∂z}

Da Navier-Stokes:

_∂ui/_∂xi = 0

∂u_i/_∂t + ∂u_i/_∂xj u_j = -1/ρ ∂p/_∂xi + ν ∂²u_i/_∂xj² + f_i

f_i → Forze di massa volumetriche

Moltiplico u_i all'equazione della quantità di moto (k = 1/2 u_iu_i)

u_i ^∂u_i/_∂t + u_i ^∂u_i/_∂xj u_i u_j = -u_i / ρ ^∂p/_∂xi + ν_i ^∂2u_i/_∂xj∂xj + f_i u_i

a) u_i ^∂u_i/_∂t = ¹/₂ ^∂u_iu_i/_∂t → ¹/₂ ^∂u_iu_i/_∂t = u_i ^∂u_i/_∂t - _∂k/^∂t

b) u_i ^∂u_j/_∂xj = u_j ^∂u_i/_∂xj = u_j ¹/₂ ^∂u_i/_∂xj = u_j ^∂u_i/_∂xj

u_i ^∂u_j/_∂xj = u_j ^∂k/_∂xj = ^∂ku_j/_∂xj

c) -u_i/ρ ^∂p/_∂xi = -1/ρ u_i ^∂p/_∂xi = -ρ ^∂p/_∂xi

d) ν u_i ^∂2u_i/_∂xj∂xj

Siccome:

^{∂2 u_iu_i}/_∂xj∂xj = ∂/∂x_j ( ^2u_iu_i/_∂xj) - ^2u_i/_{∂xj ∂xj} = 2^∂u_i/_{∂xj ^∂ui/∂xj + 2ui ^∂2ui/∂xj∂xj}

⇒ 2u_i ^∂2u_i/_∂xj∂xj = ^∂2u_iu_i/_∂xj∂xj - 2 ^∂u_i/_{∂xj ∂xj} ⇒ u_i ^∂2u_i/_∂xj∂xj = 1/2 ^∂2u_iu_i/_∂xj∂xj - ^∂u_i/_{∂xj ∂xj}

⇒ ν u_i ^∂2u_i/_∂xj∂xj = 1/2 ν ^∂2u_iu_i/_∂xj∂xj - ^∂u_i/_{∂xj ^∂ui/∂xj = ν ^∂2K/∂xj∂xj - ν ^∂ui/∂xj ^∂ui/∂xj}

Quindi l'equazione dell'energia cinetica:

^∂K/_∂t + ^∂/_{∂xj k uj} = -1/∂P/∂_ρ ∂x_i + ν ^∂2K/_∂xj∂xj - ν ^∂u_i/_{∂xj ∂ui + fiui}

1° termine:

Variazione dell'energia cinetica nel tempo

2° termine (Divergenza)

Termine convettivo, rappresenta il trasporto dell'energia cinetica tramite la velocità

3° termine (Divergenza)

Termine di trasporto tramite pressione e velocità